×

Sur quelques propriétés nouvelles des fonctions entières ou méromorphes. (Troisième mémoire.). (French) JFM 48.0363.04

Vgl. Ann. de l’Éc. Norm. (3) 36, 93, (3) 37, 165 (F. d. M. 47, 812 (JFM 47.0812.*), 1919-20).
Die vorliegende dritte Mitteilung bleibt an Eleganz der Schlußweise und Abgeschlossenheit der Resultate in keiner Weise hinter den beiden ersten zurück. Es handelt sich hier um die folgende Fragestellung. Es sei \(f(z)\) meromorph, \(\sigma_n\) (\(n = 1, 2, 3,\ldots\)) sei eine beliebige Folge komplexer Zahlen, \(\sigma_n\to\infty\) und \(E\) die Menge aller Punkte \(z_0\), \(z_0\neq 0\) und \(z_0 \neq\infty\), in denen die Folge \(f_n(z) =f(z\sigma_n)\) (\(n=1, 2, 3,\ldots\)) nicht normal ist. Der Fall \(\sigma_n=\sigma^n\) ist in der zweiten Mitteilung untersucht worden. Für die Punkte \(z_0\) gelten ähnliche Sätze wie dort. Die Funktion \(f(z)\) nimmt z. B. in den Bereichen \(B\sigma_n\), die aus einem beliebig kleinen, \(z_0\) enthaltenden Bereiche \(B\) durch die Transformationen \(z'=\sigma_nz\) hervorgehen (\(n = 1, 2, 3,\ldots\)), mit ev. Ausnahme von zwei Werten, jeden Wert an.
Die wichtigste Frage, die sich hier aufdrängt, ist die Existenz von \(E\). Verf. gibt zwei besonders wichtige Fälle an, in welchen diese feststeht.
1. \(f(z)\) hat zwei Konvergenzwerte.
2. Es sei \(a\) endlich und kein Picardscher Ausnahmewert von \(f(z)\), und es seien \(z_p(a)\) die \(a\)-Stellen von \(f(z)\) (\(p = 1, 2, 3,\ldots\)). Die Menge \(\mathfrak E\) der Punkte \(\dfrac{z_p(a)}{\sigma_n}\) (\(p, n= 1, 2, 3,\ldots\)), hat für passendes \(a\) mindestens einen Häufungspunkt, der \(\neq 0\) und \(\infty\) ist. (Ein unendlich oft vorkommendes Element gilt als Häufungspunkt.)
Aus 2. schließt man insbesondere, daß \(E\) stets existiert, wenn die Folge \(\sigma_n\) nicht allzu stark anwächst, namentlich wenn \[ 1\leqq\left|\frac{\sigma_{n+1}}{\sigma_n}\right|<Q \] und \(Q\) von \(n\) frei ist. Weiter existiert \(E\), wenn man mit den Bezeichnungen von 2. \[ 1\leqq\left|\frac{z_{p+1}(a)}{z_p(a)}\right|<Q \] hat, wobei \(Q\) von \(p\) frei ist. Für die Funktion \[ f(z)=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac z{q^{n^2}}\right)\qquad (q>1) \] existiert \(E\) nicht, wenn man \(\sigma_n=\sqrt{q^{n^2}q^{(n+1)^2}}\) setzt. Man darf jedoch nicht glauben, daß umgekehrt aus dem genügend starken Anwachsen von \(\sigma_n\), bzw. \(z_p(a)\) die Nicht-Existenz von \(E\) folgt. Verf. zeigt tatsächlich folgendes: Sind \(f(z)\) und \(\sigma_n\) beliebig vorgegeben, so kann die Folge \(s_n\) so bestimmt werden, daß \(s_n\) stärker anwächst als \(\sigma_n\) und daß die zu der Folge \(s_n\) (und zu \(f(z)\)) gehörige Menge \(E\) existiert.
Anwendungen bei spezieller Wahl der Folge \(\sigma_n\). Schließlich wird der Fall betrachtet, wo das Anwachsen der Beträge der Nullstellen von \(f(z)\) geeigneten Regularitätsbedingungen unterworfen ist.

Citations:

JFM 47.0812.*
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Numdam EuDML