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Mémoire sur la permutabilité des fractions rationnelles. (French) JFM 48.0364.02
Ausgangspunkt der vorliegenden Untersuchung ist ein Satz von Poincaré, nach dem zu einer beliebigen rationalen Substitution \(z'=R(z)\) und zu einem abstoßenden Fixpunkt \(\alpha\) derselben (\(\alpha=R(\alpha)\), \(|R'(\alpha)|>1\)) eine eindeutig bestimmte meromorphe Funktion \(G(z)\) gehört, für welche die Gleichungen \[ G(0) =\alpha,\quad G'(0) = 1,\quad G(sz)=R[G(z)]\qquad (s = R'(\alpha)) \] gelten (Journ. de Math. 1890). Verf. betrachtet vertauschbare rationale Substitutionen \(z'=R_1(z)\), \(z'=R_2(z)\) und zeigt zunächst, daß, wenn \(\alpha\) ein gemeinsamer abstoßender Fixpunkt ist, die entsprechenden “Poincaréschen Funktionen” übereinstimmen. [Daß umgekehrt aus \[ G(s_1z)=R_1[G(z)],\qquad G(s_2z)=R_2[G(z)] \tag{*} \] mit \(|s_1|>1\), \(|s_2|>1\) (beide Ungleichungen sind Folgerungen der Meromorphic von \(G(z)\)) die Vertauschbarkeit von \(z'=R_1(z)\) und \(z'=R_2(z)\) folgt, ist leicht zu zeigen.] Verf. wendet sich nun zu der eingehenden Untersuchung Vertauschbarer rationaler Substitutionen und versucht, die von Koenigs und von anderen begründete, neuerdings von Fatou und ihm selbst wesentlich geförderte Theorie der Iteration (vgl. F. d. M. 46, 520 (JFM 46.0520.*), 1916-18) in dieser Sichtung zu verwerten.
Es seien also im folgenden \(R_1(z)\), \(R_2(z)\) vertauschbare rationale Funktionen, beide vom Grade \(>1\). Dann werden in den beiden ersten Kapiteln der zusammenfassenden Arbeit Sätze von folgender Art bewiesen:
Wenn \(R_1(z)\) und \(R_2(z)\) einen Fixpunkt (oder allgemeiner einen Zyklus) gemeinsam haben, der für \(R_1(z)\) abstoßend ist, dann ist er auch für \(R_2(z)\) abstoßend.
Es sei \(\alpha\) ein Fixpunkt von \(R_1(z)\). Dann gilt dasselbe für sämtliche Nachfolger von \(\alpha\) bei der Iteration \(R_2(z)\), und zwar sind sie von derselben Art wie \(\alpha\), d. h, gleichzeitig mit \(\alpha\) abstoßend, anziehend, bzw. indifferent. Aus der Endlichkeit der Fixpunktanzahl folgt, daß die Folge der erwähnten Nachfolger von \(\alpha\) von einem gewissen Gliede ab zyklisch ist. Der hierdurch bestimmte Zyklus von \(R_2(z)\) ist von derselben Art, wie \(\alpha\) für \(R_1(z)\) war. Ferner gilt der wichtige Satz: Bei passendem \(k\) und \(l\) haben die Iterierten \(R^{(k)}_1\), \(R^{(l)}_2\) mindestens einen gemeinsamen abstoßenden Fixpunkt.
Verf. hat in seinen früheren Untersuchungen über die Iteration die Menge \(E_{R_1}\), bzw. \(E_{R_2}\) der abstoßenden Zyklen eingeführt. Es zeigt sich hier, daß \(E_{R_1}'=E_{R_2}'\) ist, ohne daß jedoch allgemein \(E_{R_1} = E_{R_2}\) wäre, wie dies an Hand des Beispiels \(R_1(z) =\sin 3\) (arc sin \(z\)) \(R_2(z) = \sin 5\) (arc sin \(z\)) leicht gezeigt werden kann.
Die bisher erwähnten Sätze zeigen schon, daß zwischen den beiden, durch \(R_1(z)\) und \(R_2(z)\) bestimmten Iterationen eine nahe Beziehung steht. Diese Tatsache wird weiter vertieft durch den Beweis des folgenden Satzes (Kap. 3 und 4): Die inversen Funktionen von sämtlichen Iterierten \(R_1^{(k)}\) haben in ihrer Gesamtheit dieselben Verzweigungspunkte wie die inversen Funktionen sämtlicher Iterierter \(R_2^{(l)}\). Verf. zeigt dies, indem er zunächst darauf hinweist, daß die erwähnten Mengen ungeändert bleiben, wenn man \(R_1\) (oder \(R_2\)) durch irgendeine Iterierte von \(R_1\) (bzw. \(R_2\) durch irgendeine Iterierte von \(R_2\)) ersetzt. Man kann also nach den Ergebnissen von Kap. 2 von vornherein annehmen, daß \(R_1\) und \(R_2\) einen gemeinsamen abstoßenden Fixpunkt haben, den man übrigens in den Nullpunkt verlegen kann. Dann gibt es aber eine meromorphe Funktionen \(G(z)\), die (*) erfüllt Verf. beweist nun, deßdie Gesamtheit der Verzweigungspunkte der inversen Funktionen sämtlicher Iterierter von \(R_1\) (und auch von \(R_2\)) mit der Gesamtheit der algebraischen Singularitäten aller Zweige der inversen Funktion von \(G(z)\) übereinstimmt. Auf Grund dieses Ergebnisses wird auch gezeigt: Die Menge aller anziehenden und indifferenten Zyklen von \(R_1\) stimmt mit der entsprechenden Menge von \(R_2\) überein.
Es sei nun \(\alpha\) ein gemeinsamer anziehender Fixpunkt von \(R_1\) und \(R_2\) und \(s_1 = R_1'(\alpha)\neq 0\). Dann ist auch, wie im Kap. 5 gezeigt wird, \(s_2 = R_2'(\alpha)\neq 0\) und die “Schröderschen Gleichungen” \[ F[R_1(z)]=s_1 F(z),\qquad F[R_2(z)]=s_2F(z) \] haben dieselbe “normierte” Lösung (\(F(\alpha)=0\), \(F'(\alpha)=1\)) in einer Umgebung von \(\alpha\). Ahnliches gilt für die Verallgemeinerung dieser Gleichungen (Böttchersche Gleichungen) unter der Annahme \(R_1(z)- \alpha = \alpha_p(z-\alpha)^p+a_{p+1}(z-\alpha)^{p+1}+\cdots\) (\(p\geqq 1\)). Schließlich wird ein analoger Satz für die Abelsche Funktionalgleichung \(F[R(z)] = F(z)+ \text{konst.}\) gezeigt, vorausgesetzt daß \(R_1(z)\) und \(R_2(z)\) den Punkt \(z=\infty\) als indifferenten Fixpunkt besitzen.
In dem zweiten Teil stellt sich der Verf. die Aufgabe, sämtliche vertauschbaren rationalen Substitutionen \(z'=R_1(z)\) und \(z'= R_2(z)\) zu ermitteln. Im Kap. 1 löst er zunächst diese Aufgabe für den Fall, daß \(R_1\) linear und \(R_2\) vom Grade \(>1\) ist. Es ergibt sich, daß (abgesehen von einer linearen Transformation von \(z'\) und \(z\)) entweder \[ R_1(z) = \alpha z,\quad R_2(z) = zR(z^m) \] (\(\alpha\) eine \(m\)-te Einheitswurzel, \(R\) beliebig rational) oder \[ R_1(z) = \beta z,\quad R_2(z) = Az^n\quad (\beta^{n-1}=1, \;n \;\text{ganz,} \;n\gtrless 0) \] ist. In den Kapiteln 2 und 3 gelingt es ihm durch eingehende Untersuchung der Eigenschaften der mit \(R_1\) und \(R_2\) durch (*) verknüpften meromorphen Funktion \(G(z)\), diese Frage in einem gewissen Sinne zu lösen. Es handelt sich bei dieser Diskussion hauptsächlich um die Menge \(\mathfrak E\) aller Punkte, wo die Folge \(G(s_1^nz)\) (\(n=1, 2, 3, \ldots\)) aufhört, normal zu sein. Durch eine scharfsinnige Betrachtung, deren Wiedergabe hier wegen Raummangel unmöglich ist, zeigt der Verf., daß für \(\mathfrak E\) nur die folgenden Möglichkeiten vorhanden sind: \(\mathfrak E\) ist entweder die volle Ebene oder eine durch den Nullpunkt hindurchgehende Gerade oder schließlich ein vom Nullpunkt ausgehender Halbstrahl. Was die früher definierte Menge \(E_{R_1}' = E_{R_2}' = E'\) anbetrifft, so folgen hieraus für sie mit Benutzung eines Satzes von Fatou (S. M. F. Bull, 47, 161) nur die folgenden Möglichkeiten: \(E'\) ist entweder eine Kreislinie (Gerade) oder ein Kreisbogen (eine Strecke) oder schließlich die gesamte Ebene. Im ersten Falle erhält man die Substitutionen \[ z'= R_1(z) = z^{k_1},\quad z'=R_2(z) = Az^{k_2}, \tag{1} \] \(k_1\), \(k_2\) positiv oder negativ ganz, \(A^{k_1-1} = 1\), bzw. diejenigen, welche sich durch lineare Transformation von \(z'\) und \(z\) auf die Form (1) bringen lassen. Im zweiten Falle sind die einzig möglichen Substitutionen \[ z'=R_1(z)=\cos(k_1u+\varepsilon_1\pi),\quad z'=R_2(z)=\cos(k_2u+\varepsilon_2\pi), \tag{2} \] wenn \(\cos u = z\) gesetzt wird. Hier sind \(k_1\) und \(k_2\) positiv oder negativ ganz, \(\varepsilon_1\) und \(\varepsilon_2 = 0\) oder \(1\), wobei jedoch die Wahl von \(\varepsilon_1\) und \(\varepsilon_2\) durch \(k_1\) und \(k_2\) in leicht angebbarer Weise bedingt ist.
Die einzigen zurzeit bekannten Fälle der dritten Art entspringen aus dem Multiplikationstheorem der elliptischen \(\wp\)-Funktion. Z. B. \[ R_1(z)=\wp(2\;u), \quad R_2(z)=\wp(3\;u),\quad z=\wp(u). \] Für vertauschbare Polynome sind nur die Möglichkeiten (1), (2) zulässig, da dann \(E'\), wie schließlich gezeigt wird, nicht die ganze Ebene umfassen kann.
Ein Teil der Resultate des ersten Teiles ist unabhängig vom Verf. auch von P. Fatou gefunden worden.

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