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Über die Nullstellen sukzessiver Derivierten. (German) JFM 48.0370.02
Der Verf. beweist folgende vier Sätze:
I. Es sei \(R(z)\) eine rationale gebrochene Funktion. Die Anzahl der nicht reellen Nullstellen der \(n\)-ten Derivierten \(R^{(n)}(z)\) wächst mit \(n\) ins Unendliche, wenn keiner der folgenden Ausnahmefälle vorliegt:
1. \(R(z)\) hat im Endlichen nur einen (einfachen oder mehrfachen) Pol.
2. \(R(z)\) hat im Endlichen nur zwei konjugiert imaginäre Pole.
Im ersten Ausnahmefalle bleibt die Anzahl aller Nullstellen aller Derivierten \(R^{(n)}(z)\) endlich, im zweiten Fall die der nicht reellen Nullstellen, falls noch \(R(z)\) als reell für reelle \(z\) vorausgesetzt wird.
II. \(P(z)\) und \(Q(z)\) seien Polynome, \(Q(0) = 0\), und es werde \[ G(z) = P(z)e^{Q(z)} \] gesetzt. Die Anzahl der nicht reellen Nullstellen der \(n\)-ten Derivierten \(G^{(n)}(z)\) wächst mit \(n\) ins Unendliche, wenn keiner der folgenden beiden Ausnahmefälle vorliegt:
1. \(Q(z) = bz\).
2. \(Q(z) =bz - cz^2\), \(b\) reell, \(c > 0\).
Im ersten Ausnahmefall bleibt die Anzahl aller Nullstellen von \(G^{(n)}(z)\), im zweiten, falls noch \(G(z)\) reell ist für reelle \(z\), die der nicht reellen Nullstellen unter einer endlichen Grenze.
III. Die Menge der Häufungsstellen sämtlicher Nullstellen von sämtlichen Derivierten einer meromorphen Funktion \(F(z)\) besteht aus den Punkten \(z\), die gleich weit entfernt sind von den beiden innen zunächst liegenden Polen der Funktion \(F(z)\).
IV. \(P(z)\) und \(Q(z)\) seien Polynome, \[ Q(z)=bz^q + b_1z^{q-1}+\cdots+b_q, \quad \text{wo} \quad b\neq 0, \;q>2; \] ferner sei \[ G(z) = P(z)e^{Q(z)}. \] Die Menge der Häufungspunkte sämtlicher Nullstellen sämtlicher Funktionen \(G(z)\), \(G'(z)\), \(G''(z),\ldots, G^{(n)}(z),\ldots\) hängt nur von \(q\), \(b\), \(b_1\) ab. Sie besteht aus \(q\) Halbstrahlen, die vom Punkte \(z =-\dfrac{b_1}{qb}\) auslaufend die Ebene in \(q\) gleiche Winkelräume teilen.

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References:
[1] G. Pólya und J. Schur, Über zwei Arten von Faktorenfolgen in der Theorie der algebraischen Gleichungen, Crelles Journal144, S. 89?113. · JFM 45.0176.01
[2] Ich bezeichne, wie üblich, den Werta als Picardschen Ausnahmewert der ganzen transzendenten Funktiong(z), wenng(z)-a nur endlich viele Nullstellen hat. Besitzen g(z) und seine beiden ersten Derivierten, g?(z) und g?(z) Picardsche Ausnahmewerte, so ist g(z)=P(z)eQ(z)+a wo a eine Konstante ist, P(z) und Q(z) Polynome sind. Daraus folgt das Korollar: Wenng(z) nicht die Funktionae bz ist, woa, b Konstanten, so besitzt das Produktg(z) g?(z) g?(z) Nullstellen In einer etwas weniger vollständigen Form habe ich diese Sätze schon früher angekündigt. (Vgl. Bestimmung einer ganzen Funktion endlichen Geschlechts durch viererlei Stellen, Nyt Tidsskrift for Mat. B. (1921), S. 14?21.) Ich fand sie im Anschluß an, eine briefliche Mitteilung von Herrn. P. Csillag in Budapest. Der Beweis soll an anderem Ort ausgeführt werden. (Anmerkung bei der Korrektur. Juli 1921. G.P.)
[3] R. Jentzsch, Untersuchungen zur Theorie der Folgen, analytischer Funktioner, Acta Mathematica41 (1918), S. 219?251. · JFM 46.0516.03 · doi:10.1007/BF02422945
[4] A. A. Markoff, Wahrscheinlichkeitsrechnung (Leipzig u. Berlin 1912), vgl. S. 261, Lehrsatz 2. Für eine Verallgemeinerung in anderer Richtung vgl. G. Pólya, Über den zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung und das Momentenproblem, Mathem. Zeitschrift8 (1920), S. 171?181. · JFM 43.0291.01
[5] G. Pólya, Sur une question concernant les fonctions entières, Comptes Rendus158 (1914), 330?333. · JFM 45.0653.02
[6] ? Bemerkung zur Theorie der ganzen Funktionen, Jahresbericht d. deutsch, Math. Ver.24 (1915), 392?400. · JFM 46.0510.02
[7] M. Ålander, a) Sur le déplacement des zéros des fonctions entières par leur dérivation, Thèse, Upsal (1914),
[8] M. Ålander Sur les zéros extraordinaires des dérivées des fonctions entières réelles, Arkiv för Math., Astr. och. Fys.11 (1916), No. 15,
[9] M. Ålander Sur les zéros des dérivées des fonctions rationnelles et d’autres fonctions méromorphes, Arkiv för Math. Astr. och Fys.14 (1920) No. 23.
[10] Vgl. z. B. E. Landau, Darstellung und Begründung einiger neuerer Ergebnisse der Funktionentheorie, Berlin (1916), S. 89.
[11] Fürq=2 sind die Verhältnisse etwas anders, aber viel einfacher. Man kann als Integrationskurve für (19) etwa das Quadrat wählen, das den Kreis |w|=1 in den Punktenw=1,i, ?1, ?i berührt.
[12] Die GleichungC 1=0 definiert ? als eine algebraische Funktion vonn ?1/q Der Ausdruck (35) ist der Anfang der Reihentwick’ung des einzigen Zweiges, der fürn ?1/q =0 verschwindet.
[13] Für andere Beweise vgl. z. B. a. a. O. 4b)?, S. 392?393, 5c), S. 9?11 oder etwa schon H. Laurent, Traité d’algèbre IIIe partie (Paris 1894) die Aufgaben14, 16, 30, 39, S. 70?75.
[14] G. Pólya, Geometrisches über die Verteilung der Nullstellen gewisser ganzer transzendenter Funktionen, Sitzungsber. München (1920), S. 285?290. Vgl. noch H. Poincaré, Théorie analytique de la propagation de la chaleur (Paris, 1895), Kapitel 11. E. Feyer, Asymptotische Darstellung gewisser meromorpher Funktionen, Dissertation, Breslau 1919. Diese Stellen waren mir bei Abfassung meiner zitierten Arbeit noch unbekannt.
[15] Vgl. dazu a. a. O. 5c)?. S. 4?8. Für die eingehende Behandlung eines hierher gehörigen Spezialfalles vgl. noch G. Pólya, Bemerkung über die Mittag-Lefferschen FunktionenE a (z). Töhoku Math. J.19 (1921), S. 241?248.
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