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Über orthogonale Polynome, die zu einer gegebenen Kurve der komplexen Ebene gehören. (German) JFM 48.0374.04

In der vorliegenden Arbeit wird eine von Faber behandelte Frage – zu einem beliebigen Bereich Polynome zu finden, nach denen jede, in dem Bereich reguläre Funktion entwickelbar ist – auf eine neue Weise gelöst. Verf. geht von einer rektifizierbaren Jordankurve \(C\) aus und definiert ein System von Polynomen \(P_n(x)\) (\(n= 0, 1, 2,\dots\)) durch die Orthogonalitätsbedingungen \[ \frac 1l\int\limits_CP_m(x)\overline{P_n(x)}\,d\sigma= \varepsilon_{mn}\quad (m, n = 0, 1, 2, \ldots), \] wo \(l\) die Länge und \(d\sigma\) das Bogenelement von \(C\) bezeichnet. Die \(P_n(x)\) sind, wenn man noch ihren höchsten Koeffizienten positiv festlegt, eindeutig bestimmt. Für den Einheitskreis \(|x|=1\) ist z. B. \(P_n(x) = x^n\). In dem Grenzfall, wo \(C\) in das Intervall \(-1,1\) ausartet, ergeben sich die Legendreschen Polynome.
Im I. Kapitel werden allgemeine Eigenschaften der Polynome \(P_n(x)\) behandelt, namentlich Maximum-Minimum-Eigenschaften, Sätze über Nullstellen, usw. Auch der Satz, daß jede im Innern und auf \(C\) reguläre Funktion nach den \(P_n(x)\) entwickelbar ist, wobei die Koeffizienten sich auf die Fouriersche Weise ergeben, wird hier bewiesen. Von den Sätzen über die Nullstellen sei nur der folgende erwähnt: Die Nullstellen von \(P_n(x)\) liegen im kleinsten konvexen Bereich, der die Kurve \(C\) enthält.
Im Mittelpunkt des II. Kapitels steht folgendes Theorem: Es sei \(\gamma(x)\) diejenige – bis auf einen konstanten Faktor vom Betrage 1 eindeutig bestimmte – Funktion, welche das Innere von \(C\) auf das Innere des Einheitskreises schlicht abbildet, für welche ferner \(\gamma(a) = 0\) gilt; \(a\) ist ein gegebener innerer Punkt von \(C\). Dann hat man \[ \gamma(x)=\varepsilon \frac{2\pi}l \frac 1{K(a,a)}\int\limits_a^x (K(a,\xi))^2\,d\xi, \] wobei \[ K(a,x) = \sum_{n=0}^\infty \overline{P_n(a)}P_n(x). \] Die letzte Reihe konvergiert gleichmäßig in jedem ganz im Innern von \(C\) gelegenen Bereiche.
Das III. Kapitel handelt von den Beziehungen der Polynome \(P_n(x)\) zu der schlichten Abbildung des Äußeren von \(C\), wobei namentlich die folgende, außerhalb von \(C\) geltende asymptotische Formel bewiesen wird: \[ P_n(x) =\sqrt{\frac l{2\pi}}\sqrt{\psi'(x)}(\psi(x))^n(1+\varepsilon_n); \] hierbei ist \(\lim\limits_{n\to \infty}\varepsilon_n=0\) und \[ \psi(x) = cx + c_0 + \frac{c_1}x+\frac{c_2}{x^2}+ \cdots \quad (c>0) \] bezeichnet diejenige Funktion, welche das Äußere von \(C\) auf das Äußere des Einheitskreises derart abbildet, daß der unendlich ferne Punkt und die Richtung in demselben invariant bleiben. Hieraus folgt z. B. \[ \psi(x)=\lim_{n\to \infty}\frac{P_{n+1}(x)}{P_n(x)}, \] eine Grenzwertformel, die man auch zur angenäherten Berechnung der Abbildungsfunktion \(\psi(x)\) verwenden kann, da die \(P_n(x)\) durch Quadraturen bestimmbar sind (wenn nämlich \(C\) in der Form \(x = x(\sigma)\) gegeben ist, wo \(\sigma\) die von einem festen Punkt auf \(C\) gerechnete Bogenlänge bezeichnet). Auf Grund dieser Resultate gelingt es leicht, den Konvergenzbereich der Entwicklung einer innerhalb und auf \(C\) regulären analytischen Funktion nach den Polynomen \(P_n(x)\) anzugeben. Ein Satz über die Häufungsstellen der Wurzeln von \(P_n(x)\) (\(n=1, 2, 3,\ldots\)), sowie eine Interpolationsaufgabe, bei der als Interpolationsstellen diese Wurzeln verwendet werden, beschließt die Arbeit. (IV 5.)

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References:

[1] Über polynomische Entwickelungen [Mathematische Annalen,57 (1903), S. 389 bis 408]; ferner: Über polynomische Entwickelungen II. [Mathematische Annalen,64 (1907), S. 116–135]. – Im Falle einer Ellipse hat Picard dieselbe Aufgabe gelöst. S. Traité d’analyse, Zweite Auflage, Paris 1905 (Gauthiers-Villars),2, S. 317. – Man vgl. auch Heine, Handbuch der Kugelfunktionen, Zweite Auflage, Berlin 1878–81 (G. Reimer),1, S. 198.
[2] Interpolation und konforme Abbildung (Nachrichten von der königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Math.-phys. Klasse, 1918, S. 319–331). Man vgl. insbesondere § 5.
[3] Erste Mitteilung, [Mathematische Zeitschrift,6 (1920), S. 167–202]; zweite Mitteilung ist im Erscheinen begriffen.
[4] S. etwa O. Perron, Die Lehre von den Kettenbrüchen, Leipzig und Berlin 1913 (B. G. Teubner), S. 379. · JFM 43.0283.04
[5] Vgl. die Fußnote21
[6] D. Hilbert, Über die Entwickelung einer beliebigen analytischen Funktion einer Variablen in eine unendliche nach ganzen Rationalen fortschreitende Reihe [Nachrichten von der königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Math.-phys. Klasse, 1897, S. 63–70]. · JFM 28.0359.01
[7] Existenz und Unität dieser Polynome folgt aus gewissen Sätzen von Tonelli. Vgl. I polinomi d’ approssimazione di Tschebychev [Annali di matematica,XV (1908), S. 47–119] S. 108. – Vgl. auch P. Montel, Leçons sur les séries de polynomes a une variable complexe, Paris 1910 (Gauthiers-Villars), S. 66–71, sowie G. Faber, Journal für Mathematik,150 (1919), S. 79–106..
[8] Herr Faber hat a. a. O. 21), S. 84–86 bewiesen
[9] Vgl. etwa Picard, Traité d’analyse, 2. Auflage, Paris 1905 (Gauthiers-Villars)2, S. 301–307.
[10] Vgl. die Fußnote 21)
[11] Faber a. a. O. 21), S. 86–88.
[12] Vgl. die Fußnote 21).
[13] Für die Tschebyscheffschen PolynomeT n (x) gilt eine ähnliche asymptotische Formel. (Vgl. Faber, a. a. O. 21), S. 88–92).
[14] Vgl. etwa Montel, a. a. O. 21),, S. 16.
[15] Vgl. etwa Montel, a. a. O. 21), S. 49.
[16] Vgl. die Fußnote 51).
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