Sur une équation aux dérivées fonctionnelles liée à la représentation conforme. (French) JFM 48.0404.04

Julia, G.

Ann. de l’Éc. Norm. (3) 39, 1-28 (1922).

\(C\) sei eine einfache geschlossene analytische Kurve der Ebene, \(A\) ein innerer Punkt des endlichen durch \(C\) bestimmten Bereiches, At eine Richtung in \(A; Z=f_A(z)\) sei diejenige analytische Funktion, die das innere von \(C\) auf das Innere des Einheitskreises um den Nullpunkt derart konform abbildet, daß \(A \) dem Nullpunkt \(O\) und \(At\) einer gegebenen Richtung \(OT \) entsprechen. Gibt man \(z\) einen festen Wert \(B\) innerhalb des Bereiches, so hängt \(b = f_A (B)\) noch ab von der Kurve \(C\). Verf. berechnet die Funktionalableitung von \(f_A (B)\), wenn \(C \) variiert, bei festen Punkten \(A, B\) und festen Richtungen \(At, OT\). Mit anderen Worten, er berechnet die Variation \(\delta b\) als Funktion der Normalverrückungen \(\delta n\) (\(n\) innere Normale) der Punkte von \(C\). Die Berechnung wird nach zwei Methoden ausgeführt, einmal mit Hilfe der Hadamardschen Gleichung für die Variation der Greenschen Funktion, dann direkt, indem das Problem durch konforme Abbildung auf dieselbe Aufgabe für einen Kreis zurückgeführt wird.
Verf. findet
\[ \begin{aligned} \frac {\delta f_A (B)} {f_A (B)} = & \frac 1 {2\pi i} \int\limits_C \frac { f_A(B) + f_A(z)}{f_A(B) - f_A(z)}\, \frac { f_A^{\prime 2}(z)}{f_A^2(z)}\, \delta z\, dz, \\ \frac {\delta f_A(B)}{f_A(B)} = & -\frac 1{2\pi i} \int\limits_C \frac { f_A(B) + f_A(z)}{f_A(B) - f_A(z)} | f_A^\prime (z)|^2\, \delta n \, dz; \end{aligned} \] \(\delta z\) bedeutet hier die Variation des Vektors \(O \to z\) (\(z\) auf \(C\)) längs der Normale.
Aus diesen Formeln wird die Variation des Imaginärteiles -\(\gamma (A, B)\) von \[ \log f_A (B) = - [g (A, B) + i \gamma (A, B)] \] abgeleitet: \[ \delta \gamma (A,B) = \frac 1{2\pi \text{ sh } [g(A,B)]} \int\limits_C \left(\frac{d\gamma (A,M)}{ds} \right) \sin [\gamma (B,M)] \, \delta n \, ds, \] unter der Voraussetzung, daß \(f_A (B)\) reell und positiv sei, also \( \gamma (A, B) = 0\); \(M\) ist der variable Punkt auf \(C\).
Es wird dann aus der Formel für \(\delta f_A (B)\) eine bemerkenswerte Lösung der Hadamardschen Funktionalgleichung \[ \delta \varPsi (A,B) = \int\limits_C \varPsi (A,M) \varPsi (M,B)\, \delta n \, ds \] und eine Lösung der Funktionalgleichung \[ \delta \varPhi (A,B) = \int\limits_C \varPhi (A,M) \varPhi (M,B)\, \delta z \, ds \] abgeleitet. Insbesondere wird gezeigt, daß wenn \(\varPhi (A, B)\) eine Lösung der letzten Gleichung ist, \(\varPsi (A, B) = i \varPhi (A,B) e^{i(\alpha_A + \alpha_B)}\) eine Lösung der Hadamardschen Gleichung ist und umgekehrt. Hier bedeuten \(\alpha_A\) und \(\alpha_B\) die Winkel der positiven Halbtangenten von \(C\) in \(A\) und \(B\) mit der positiven \(x\)-Achse. (IV 7, IV 13.)

Reviewer: Plancherel, M., Prof. (Zürich)

JFM Section:

Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 5. Konforme Abbildung und Uniformisierung.