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Über die Laplacesche Reihe. (German) JFM 48.0417.01

Die Arbeit ist eine von G. Szegö herausgegebene Übersetzung der ungarischen Dissertation des 1918 verstorbenen Verf. (s. JFM 45.0413.01), deren Inhalt schon 1913 in einer Comptes-Rendus-Note bekanntgegeben war (s. F. d. M. 44, 535 (JFM 44.0535.01), 1913). Der § l bringt ein neues, sehr einfaches Beispiel einer auf der Kugel stetigen Funktion \( f (\vartheta, \psi)\), deren Laplacesche Reihe in einem Punkte divergiert. § 2 bringt den vereinfachten Beweis des in dem Referat von 1913 genannten Satzes von Gronwall.
In § 3 und 4 wird die Frage der \(C_k\)-Summierbarkeit der Laplaceschen Reihe für \(\frac 12 < k < 1\), die schon von Gronwall (s. F. d. M. 45, 413 (JFM 45.0413.01), 1914) in Angriff genommen war, auf vereinfachten Wegen behandelt. Sachlich geht das Ergebnis nicht über das von Gronwall gewonnene hinaus.
Zum Schluß wird an besonders einfachen Beispielen gezeigt, daß, wenn \(k < \frac 12\), es stets eine auf der Kugel stetige Funktion gibt, deren Laplacesche Reihe in einem Punkte nicht \(C_k\)-summierbar ist.
Zu den letzten beiden Punkten vgl. die nachstehend besprochene Arbeit von E. Kogbetliantz [Math. Z. 14, 99–109 (1922; JFM 48.0417.02)].

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References:

[1] Im Original werden in einem vorangehenden Paragraphen die elementaren Eigenschaften der Legendreschen Polynome vorausgeschickt.
[2] Diejenigen Leser, denen die Lebesgueschen Integrale nicht geläufig sind, mögen hier an Funktionen denken, die im klassischen Sinne absolut integrabel sind.
[3] Vgl. auch Comptes Rendus146 (1908), S. 224?227; Mathematische Annalen67 (1909), S. 76?109.
[4] Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme [Inauguraldissertation, Göttingen 1909. Abgedruckt in den Mathematischen Annalen69 (1910), S. 331?371].
[5] Vgl. auch Gronwall, a. a. O.9)), §§ 3, 4.
[6] Im folgenden bezeichnen wir mitc 1,c 2,... vonn unabhängige positive Konstanten.
[7] A. Haar, Über die Legendresche Reihe [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo32 (1911), S. 132?142]. · JFM 42.0485.01
[8] T. H. Gronwall, Über die Laplacesche Reihe [Mathematische Annalen74 (1913), S. 213?270]. · JFM 44.0305.02
[9] Vgl. auch F. Lukács, Sur la série de Laplace [Comptes Rendus157 (1913), S. 632?634].
[10] Diese Ausdrücke sind (im Zusammenhang mit der Untersuchung der Summabilität beliebiger Ordnung der Fourierschen Reihe) schon von M. Riesz und Chapman untersucht worden; doch reichen ihre Resultate für meine Zwecke nicht aus.
[11] Vgl. J. T. Stieltjes, Annales de la Faculté des Sciences, de Toulouse (1)4 (1890), G. 1?17.
[12] Fürx&gt;0. Istx&lt;0, so ist offenbar das ganze Integral über 01 kleiner, als eine vonn undx unabhängige Konstante.
[13] Dieses Theorem rührt von Gronwall her und wurde (unter etwas allgemeineren Bedingungen) in seiner Arbeit: Über die Summierbarkeit der Reihen von Laplace und Legendre [Mathematische Annalen75 (1914), S. 321?375] bewiesen.
[14] Am Schluß seiner C. R.-Note hat Lukács die Gegenpolbedingung 2. nicht angeführt, was von Herrn Gronwall [Comptes Rendus158 (1914), S. 1488?1490] mit Recht beanstandet wurde. Aus der vorliegenden Originalarbeit ist aber ersichtlich, daß es sich in der C. R.-Note von Lukács nur um eine ungenaue Formulierung handelt. [Anmerkung des Übersetzers.]
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