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On certain numerical invariants of algebraic varieties with application to abelian varieties. (English) JFM 48.0428.03
Der erste Teil der vorliegenden Abhandlung enthält eine Topologie der algebraischen Mannigfaltigkeiten beliebig hoher Dimension, wie sie der Verf. auch in einer Monographie: L’Analysis Situs et la Géométrie Algébrique (Paris, Borel-Serie 1924) dargestellt hat.
Im zweiten Teile werden mit diesen Hilfsmitteln die Abelschen Mannigfaltigkeiten \(V_p\) untersucht, deren Punktkoordinaten \(p+1\) meromorphe mit den nämlichen Perioden \(2p\)-fach periodischen Funktionen von \(p\) Veränderlichen sind. Der Verf. behandelt eingehend die komplexe Multiplikation dieser Funktionen und bestimmt in zahlreichen Fällen die Indices der Singularität \(k\) und der Multiplikabilität \(h\) ihrer Riemannschen Matrizen (die Picardsche Zahl \(\varrho\) ist hier stets \(= 1 + k\)). Insbesondere werden diejenigen Fälle behandelt, in denen die Riemannsche Matrix von der Form \[ \Omega = ||1,\alpha_j,\alpha_j^2,\ldots,\alpha_j^{2p-1}|| \qquad (j=1,2,\ldots,p) \] ist, wo die \(\alpha_j\) Wurzeln einer irreduziblen Gleichung \(2p\)-ten Grades mit ganzzahligen Koeffizienten sind. Es ergeben sich dabei in manchen Fällen ganz besonders einfache Fälle, so z. B. ist, wenn die Gruppe der Gleichung eine Abelsche ist, stets: \[ 1 + h = 2(1+k) = 2\varrho = 2p. \] In der gleichen Weise untersucht der Verf. die zu Gleichungen von der Form \[ y^2=\prod (x-a_i)^{a_i} \] (wo \(q\) ungerade ist) gehörigen Jacobischen Mannigfaltigkeiten.

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