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Sur certaines fonctions automorphes de deux variables. (French) JFM 48.0447.02

(Vgl. F. d. M. 47, 366 (JFM 47.0366.*), 1919-20.) Der erste Teil der wertvollen Arbeit bezieht sich auf automorphe Funktionen zweier Variablen \(x\), \(y\) mit linearer Erzeugungsgruppe im Sinne Picards; er beruht auf einer recht einfachen Klassifikation der homogenen linearen Substitutionen in drei Variablen, die eine Hermitesche Form \(F \equiv x\overline{x} + y\overline{y}-z\overline{z}\) in sich selbst überführen. Die Determinante \(\varDelta\) einer solchen Substitution hat stets den absoluten Betrag 1; da es hier allein auf die Verhältnisse der Koeffizienten ankommt, so läßt sich ohne Einschränkung der Allgemeinheit \(\varDelta = 1\) voraussetzen Ferner kann man die gegebene Fundamentalform durch eine beliebige lineare Substitution \(T\) in eine andere Gestalt überführen und diese nun statt \(F\) den Betrachtungen zugrundelegen: dadurch werden die ursprünglichen automorphen Substitution \(S\) in die ihnen ähnlichen \(T^{-1}ST\) übergeführt, wobei durch passende Wahl von \(T\) eine gewisse Normalgestalt von \(S\) erreicht werden kann. Die verschiedenen möglichen Grundformen der so normierten \(S\), deren jeweiligen Potenzen dann leicht zu übersehen sind, lauten hier: \[ \begin{gathered} \begin{pmatrix} e^{i\theta}\operatorname{ch\,} u&0&e^{i\theta}\operatorname{sh\,} u\\ 0&e^{-2i\theta}&0\\ e^{i\theta}\operatorname{sh\,} u&0&e^{i\theta}\operatorname{ch\,} u \end{pmatrix};\quad \begin{pmatrix} e^{i\theta_1}&0&0\\ 0&e^{i\theta_2}&0\\ 0&0&e^{i\theta_3 } \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} \left(1\pm\dfrac i2\right)e^{i\theta}&0&\pm\dfrac i2e^{i\theta}\\ 0&e^{-2i\theta}&0\\ \pm\dfrac i2e^{i\theta}&0&\left(1\pm\dfrac i2\right)e^{i\theta} \end{pmatrix};\quad \begin{pmatrix} -1&2&2\\ -2&1&2\\ -2&2&3 \end{pmatrix}. \end{gathered} \] Auf Grund dieser Klassifikation läßt sich dann die Theorie der zu einer einzigen \(S\) gehörigen speziellen automorphen Funktion in engerem Anschluß an die entsprechenden Entwicklungen von Poincaré und Picard für den Fall einer Variablen durchführen; insbesondere ist nun die Heranziehung der nichteuklidischen Metrik zur Charakterisierung der entstehenden Gruppen und ihrer Untergruppen nach Poincaréschem Vorbilde möglich.
Im zweiten Teil der Abhandlung werden die entsprechenden Überlegungen für hyperabelsche Gruppen durchgeführt, bei denen die erzeugenden Substitutionen sich auf \(x\) und \(y\) einzeln beziehen. Die Resultate weisen trotz der sehr verschiedenen Voraussetzungen weitgehende Analogien mit denjenigen des einfächeren linearen Falles auf. Drei einer und derselben Gruppe entsprechenden Funktionen sind z. B. stets durch eine algebraische Beziehung miteinander verknüpft, und jede sonstige Funktion für die gleiche Gruppe läßt sich durch jene drei rational ausdrücken, sobald die betreffenden Funktionen ihr zugehöriges Hauptgebiet zur natürlichen Grenze haben; das (normierte) Fundamentalgebiet besteht im linearen Fall aus einer Hypersphäre, im hyperabelschen aus zwei Kreisen. Beiden Fällen entsprechen gewisse charakteristische Systeme partieller Differentialgleichungen, deren Studium ebenfalls Aufschlüsse über die zugehörigen Funktionen gibt. Die Betrachtung der fundamentalen Hyperpolyeder zu den vorgeschriebenen Substitutionen bildet eines der Hauptmittel der Untersuchung.

Citations:

JFM 47.0366.*
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