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Leçons d’analyse fonctionnelle. (French) JFM 48.0453.01
Paris: Gauthier-Villars. VI u. 442 S. \(8^\circ\) (1922).
In die klassische Analysis greifen vielfach Fragen ein, bei denen es auf sog. Funktionale ankommt; das sind Funktionen, die nicht von endlich vielen Variablen, sondern von abzählbar unendlich vielen Variablen oder von allen Werten abhängen, die eine oder mehreren Funktionen in einem Bereiche annehmen. Variationsrechnung, Integralgleichungen und viele moderne Untersuchungen aus der Theorie der Potenzreihen, Randwertfragen bei partiellen Differentialgleichungen sind Beispiele solchen Hereingreifens, die dazu drängen, die Analysis und die Geometrie endlich vieler Variablen auf Funktionenräume auszudehnen. Diese Ausdehnung zusammenhängend zu behandeln, ist der Gegenstand des Lévyschen Buches. Dabei treten die Anwendungsgebiete, die wir eben nannten und die die neue Disziplin hervorriefen, zurück und die Tendenz wird deutlich, aus diesen Ansätzen ein neues selbständiges Gebiet werden zu lassen. Dementsprechend treten in dem Buch die Beziehungen zur klassischen Analysis fast vollständig zurück.
Das Buch zerfällt in drei in Kapitel gegliederte Teile.
Teil I behandelt die Grundlagen der Theorie. Einem einleitenden ersten Kapitel folgt in Kapitel II die Erörterung des Begriffs der Stetigkeit im Funktionenraum. Die Punkte desselben sind die in \(0<x<1\) quadratisch integrierbaren Funktionen oder die bis auf endlich viele Sprünge stetigen, auf die sich die Betrachtung gewöhnlich beschränkt. Der Abstand von \(x(t)\) und \(y(t)\) wird durch \(\left[\int_0^1(x-y)^2\,dt\right]^{\frac12}\) erklärt. Der Abstandsbegriff erlaubt die Einführung des Umgebungsbegriffes und somit die Definition der Stetigkeit. Der Satz, daß eine in einem abgeschlossenen Bereich stetige Funktion gleichmäßig stetig sei, gilt im Raum der quadratisch integrierbaren Funktionen nicht Diese bilden keine kompakte Menge, weil z. B. die Folge \(\cos2^n \pi t\) keine Häufungspunkte hat. Denn je zwei Punkte derselben haben den Abstand 1. Kapitel III enthält ein knappes Resumé der Lebesgueschen Theorie. Kapitel IV behandelt die erste Variation und die linearen Funktionale. In dem Buche wird nach Erörterung einiger anderer Definitionen und ihrer gegenseitigen Beziehungen die folgende Erklärung zugrunde gelegt. Ein Funktional \(U(x(t))\) heißt differentiierbar und \(\delta U\) seine erste Variation, wenn \(\delta U=\left\{ \dfrac d{d\lambda}U(x(t)+\lambda\delta x)\right\}_{\lambda=0}\) existiert und linear in \(\delta x\) ist, d. h., der Funktionalgleichung \((\delta_1+\delta_2)U=\delta_1U+ \delta_2U\) genügt. Hadamard und F. Riesz haben Integraldarstellungen für die so definierte erste Variation bei vorausgesetzter Stetigkeit gegeben. F. Riesz gab die folgende: \[ \delta U=\sum a_i\delta x(\tau_i)+\int_0^1\delta x\mu(t)\,dt+ \int_0^1\delta x\,d\varphi(t). \] Dies gilt für Funktionale, die für Funktionen erklärt sind, die bis auf endlich viele Sprünge stetig sind. Analoge Betrachtungen für Funktionale des Raumes der quadratisch integrierbaren Funktionen schließen sich an. Bevorzugt werden weiterhin die Funktionale, bei deren erster Variation das Stieltjes’sche Integral fehlt. \(\mu(t)\) nennt man erste funktionale Ableitung \(U_x'\). Verschiedene Verallgemeinerungen auf Funktionale, die von Funktionen mehrerer Variabler oder von Kaumkurven abhängen, beschließen das Kapitel. Kapitel V behandelt die zweite Variation und die Funktionale zweiten Grades. Die Normalform der zweiten Variation ist \[ \delta^2U=\int_0^1f(t)(\delta x)^2\,dt+\int_0^1\int_0^1\varphi(t,t_1)\delta x \delta x_1\,dtdt_1\qquad[x_1=x(t_1)]. \] Die zweiten funktionalen Ableitungen erklärt Lévy so: \(U_x^{\prime\prime}=f(t)\), \(U_{xx_1}^{\prime\prime}=\varphi(t,t_1)\). Funktionale von Gateaux heißen diejenigen, für die \(U_x^{\prime\prime}=0\) [Berichtigung in JFM: \(x^2\)] ist. Kapitel VI dehnt die Betrachtung auf Funktionale beliebigen Grades aus. Normal und homogen vom Grade \(p\) heißt ein Funktional der Form \[ \sum\int_0^1\varphi_{a_1\cdots a_n}(t_1\ldots t_n)x^{a_1}(t_1)\ldots x^{a_n}(t_n) \,dt_1\ldots dt_n, \] wo \(a_1+\cdots+a_n=p\) und die Summe über alle solche Kombinationen zu erstrecken ist. Diese Definitionen geben die Möglichkeit, die Taylorsche Reihe zu behandeln und Reihen nach solchen Normalfunktionen zu betrachten. Ein Polynom besteht aus endlich vielen normalen Funktionalen in additiver Zusammensetzung und heißt normal oder vom Gateauxschen Typus, wenn die einzelnen Glieder normal sind. Dann gilt der folgende Satz von Fréchet: Wenn ein Funktional in einem Bereich stetiger und gleichmäßig beschränkter Funktionen erklärt und stetig ist, so kann es als Grenze solcher normaler Polynome aufgefaßt werden. Für die Gateauxschen Funktionale ist charakteristisch, daß die Konvergenz gleichmäßig ist. Kap. VII betrachtet in geometrischer Darstellung Reihen nach orthogonalen Funktionen, also auch die Einführung rechtwinkliger Koordinaten im Funktionalraum, Ausdruck von Entfernung und Winkel durch dieselben. Kap. VIII betrachtet die Punkttransformationen des Funktionalraums und widmet sich namentlich den linearen Integralgleichungen und Integrodifferentialgleichungen, ohne freilich wesentlich Neues zu bieten.
Der zweite Teil gehört den funktionalen Differentialgleichungen erster Ordnung. Das sind also Gleichungen zwischen der ersten funktionalen Ableitung \(U_x'\) und dem Funktional \(U_x\) selbst. Sie entsprechen den totalen Differentialgleichungen bei endlich vielen Variablen. Ihre Integration gelingt analog wie dort durch Reduktion auf gewöhnliche Differentialgleichungen, die den Verlauf der Integrale längs gegebenen Kurven festlegen und durch Aufstellung der Integrabilitätsbedingungen, die zur Folge haben, daß die durch Integration der Differentialgleichungen gefundenen Integralwerte vom Wege unabhängig sind. Als Anwendung wird die funktionale Differentialgleichung aufgestellt, der die Greensche Funktion eines Bereiches als Funktion des Randes genügt. Das folgende Kap. III ist der Integration dieser Gleichungen gewidmet. Das Kap. IV überträgt die Theorie der partiellen Differentialgleichungen auf partielle funktionale Differentialgleichungen. Versucht man, die Hamilton-Jacobische Theorie des einfachsten Variationsproblems auf Doppelintegrale zu Überträgen, so erhält man eine partielle funktionale Differentialgleichung, welche für ein Funktional besteht, das von der Randkurve des Bereiches und dem dort vorgeschriebenen Werte der Extremalfunktion abhängt. Das Kap. V beschäftigt sich mit dieser Frage insbesondere beim Dirichletschen Integral. Das Kap. VI befaßt sich noch mit einigen weiteren Typen partieller funktionaler Differentialgleichungen.
Der Gegenstand des dritten Teiles ist die Ausdehnung der Integralrechnung auf den Funktionenraum. Dies erweist sich als notwendig, wenn man die Theorie der partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung, namentlich die der Potentialgleichung, auf den Funktionenraum übertragen will. Wenn man die Kugel des Funktionalraums als Grenze von Kugeln \(n\)-dimensionaler Euklidischer Bäume für \(n\to\infty\) auffaßt, und das Volumen ebenso als Grenzwert definieren wollte, so käme stets 0 oder \(\infty\) heraus, je nach dem Kugelradius. Daher erweist es sich als notwendig, der Verallgemeinerung des Integralbegriffs statt des Volumbegriffs einen gewissen Mittelwertbegriff zugrunde zu legen. Dazu führt die Bemerkung, daß für die Volumenberechnung einer Kugel für wachsende \(n\) die Kugelschale aus der nächsten Nähe der Oberfläche den Ausschlag gibt. Bei einer Funktion \(\varphi(r)\) des Kugelradius sind so für die Berechnung des Mittelwertes \[ \mu_n=\frac{\int_0^R\varphi(r)r^{n-1}\,dr}{\int_0^R r^{n-1}\,dr} \] bei großem \(n\) die Werte von \(\varphi(r)\) für Werte von \(r\) aus der Nähe von \(R\) ausschlaggebend, so daß die Werte von \(\varphi(r)\) für \(r<R\) und \(n\to\infty\) belanglos sind. Freilich gelingt eine wirkliche Begründung dieser Angaben, die auch für nicht kugelförmige Bereiche behauptet werden, nur im Kugelfall, so daß für die Integralrechnung des Funktionalraumes noch viel zu tun übrigbleibt. Immerhin reicht das Vorhandene aus, um die Theorie von \[ \varDelta U\equiv\int_0^1 U_{x^2}^{\prime\prime}\,dt \] zu entwickeln. Dabei bietet sich Gelegenheit, auch mancherlei aus der Differentialgeometrie des Funktionalraumes zu entwickeln. Die Bedeutung dieser Dinge für die gewöhnliche Analysis ist noch nicht ersichtlich.