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Invariant points in function space. (English) JFM 48.0472.02
Bull. Am. Math. Soc. 28, 236 (1922); Trans. Am. Math. Soc. 23, 96-115 (1922).
Die Arbeit bringt auf bemerkenswerte Weise Existenzsätze der Analysis in Zusammenhang mit Fixpunktsätzen für Punkttransformationen in endlichdimensionalen Räumen durch Verallgemeinerung auf Räume von unendlich vielen Dimensionen (Funktionenräume). Ein solcher “Fixpunktsatz” besagt: Wenn \(B>0\) und \(\eta(\varepsilon)\) eine konvexe, d. h. der Bedingung \[ \eta(a+\theta(b-a))\geqq\eta(a)+\theta(\eta(b)-\eta(a)) \] genügende (\(0\leqq\theta\leqq1\)), im Intervall \(0\leqq\varepsilon\leqq1\) definierte positive Funktion mit \(\lim\limits_{\varepsilon\to0}\eta(\varepsilon)=0\) ist, so werde als \(B\)-beschränkt und \(\eta(\varepsilon)\)-gleichstetig (“equicontinuous, \(\eta(\varepsilon)\)”) die Menge der in \(0\leqq s\leqq 1\) definierten Funktionen bezeichnet, für die sämtlich, unabhängig von der Lage von \(s\) und \(s+h\), stets \(|f(s)|<B\) und \(|f(s+h)-f(s)|<\eta(\varepsilon)\) für \(|h|\leqq\varepsilon\) gilt; jede eindeutige stetige Abbildung \(f'=Sf\) im Raum, dessen Punkte diese Funktionen sind, hat dann wenigstens einen Fixpunkt (d. h. es gibt eine Funktion, für die \(f'=f\)), wobei die Abbildung \(Sf\) als stetig bezeichnet wird, wenn zu jeder Funktion \(f_0\) und zu jedem \(\varepsilon>0\) ein \(\delta>0\) existiert, so daß bei gleichmäßig für alle \(s\) geltendem \(|f(s)-f_0(s)|\leqq\delta\) für die Bildfunktionen ebenso \(|f'(s)-f_0'(s)|\leqq \varepsilon\) gilt. Durch eine “Interpolationsmethode” wird dieser Satz sowie ähnliche Sätze, bei welchen auch die Existenz von ersten oder höheren Derivierten der Funktionen \(f(s)\) vorausgesetzt und die Stetigkeit der Abbildungen \(Sf\) auf diese Derivierten ausgedehnt wird, zurückgeführt auf den zu Beginn der Arbeit entwickelten Fixpunktsatz für stetige Abbildungen eines konvexen \(n\)-dimensionalen Bereichs auf einen inneren Teilbereich. Unter Verwendung eines Hilbertschen Raumes von abzählbar unendlich vielen Dimensionen wird ein Fixpunktsatz für eine etwas andere Klasse von Funktionen \(f(s)\) des Intervalls \([0,1]\) bewiesen: mit ihren Quadraten summierbare Funktionen mit unter derselben Schranke liegendem Quadratintegral und “gleich gut” konvergenter Quadratsumme der Fourierkoeffizienten bezüglich eines gegebenen Orthogonalsystems – bei entsprechend modifizierter Definition der Stetigkeit der Abbildungen \(f'=Sf\). Auch Fixpunktsätze für die eindeutigen stetigen Abbildungen von Richtungen (anders gesagt: Punkten einer Hypersphäre) in Räumen ungerader Dimension werden entwickelt und Verallgemeinerungen auf Funktionenräume (gebildet von normierten Funktionen mit \(\int_0^1 f^2\,ds=1\)) gegeben; desgleichen Sätze über die Existenz “inverser” Richtungen (Richtungen, deren Bild eine vorgegebene Richtung ist). Es wird gezeigt, wie die entwickelten “Fixpunktsätze” mannigfache Existenzsätze in der Theorie der Differentialgleichungen und Integralgleichungen (linearer und nicht-linearer) in sich schließen. (V 2.)

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