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On a class of equations connected with Euler-Maclaurin’s sum formula. (English) JFM 48.0478.03

Es handelt sich um die Summengleichung mit konstanten Koeffizienten \[ x_m+c_1x_{m+1}+c_2x_{m+2} + \cdots = u_m\quad (m = 1,2,3,\ldots). \] Dabei wird vorausgesetzt: \[ \varlimsup_{m\to \infty}\root m \of {|c_m|}<\frac 1r,\quad \varlimsup_{m\to \infty} \root m \of{|u_m|}\leqq r, \] und gesucht sind solche Lösungen \(x_n\), für die auch \[ \varlimsup_{m\to \infty} \root m \of{|x_m|}\leqq r . \] Hiernach sind die Reihen \[ \begin{gathered} F(t) =1+ c_1t +c_2 t + \cdots,\quad U\left(\frac 1t\right) =\frac{u_1}t + \frac{u_2}t+\cdots, \\ G\left(\frac 1t\right)=\frac{x_1}t+\frac{x_2}t+ \cdots \end{gathered} \] in einem Kreisring \(r < |t|< r + \varepsilon\) konvergent, und vermöge der Summengleichung besteht daselbst die Identität \[ F(t)G\left(\frac 1t\right) = U\left(\frac 1t\right) +\mathfrak P(t), \] wo \(\mathfrak P(t)\) eine Potenzreihe. Wenn \(\varepsilon\) klein genug, hat \(F(t)\) keine Nullstelle in dem Kreisring, und daher läßt sich \(U\left(\frac 1t\right):F(t)\) in eine Laurentsche Reihe entwickeln: \[ \frac{U\left(\frac 1t\right)}{F(t)}=\frac{h_1}t+\frac{h_2}{t^2}+ \cdots + \mathfrak P_1(t). \] Aus den beiden letzten Gleichungen folgt leicht, wenn \(F(t)\) im Kreis \(|t|\leqq r\) die Nullsteilen \(t_1,t_2.\ldots, t_\nu\) hat: \[ \frac{x_1}t+\frac{x_2}{t^2} + \cdots \equiv G\left(\frac 1t\right)= \frac{h_1}t+\frac{h_2}{t^2}+ \cdots + \frac{P_{\nu-1}(t)}{(t-t_1) \ldots (t-t_\nu)}, \] wo \(P_{\nu-1}(t)\) ein Polynom von höchstens \((\nu-1)\)-tem Grad ist. Entwickelt man den letzten Bruch nach fallenden Potenzen: \(\dfrac{p_1}t+\dfrac{p_2}{t^2} + \cdots\), so hängt \(p_m\) linear von \(\nu\) willkürlichen Konstanten (den Koeffizienten des Polynoms \(P_{\nu-1}\)) ab, und die allgemeine Lösung der Summengleichung ist \(x_\lambda = h_\lambda+ p_\lambda\). Speziell wenn \(F(t)\) gar keine Nullstelle im Kreis \(|t|\leqq r\) hat, wenn also \(\nu = 0\) ist, gibt es nur die eine Lösung \(x_\lambda=h_\lambda\).
Wählt man beispielsweise \[ c_\lambda=\frac{h^\lambda}{(\lambda+1)!},\quad x_\lambda=hf^{(\lambda)}(z), \] also \[ u_\lambda =f^{(\lambda-1)}(z+h)-f^{(\lambda-1)}(z)=\varDelta f^{(\lambda-1)}(z) \] und nimmt man \(r < \dfrac {2\pi}{|h|}\) an, so entsteht aus \(x_1=h_1\) die Euler-Maclaurinsche Summenformel \[ hf'(z) = \varDelta f(z)-\frac h2 \varDelta f'(z)+ \frac{B_1}{2!}h^2\varDelta f''(z)- \cdots . \] (IV 11.)

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