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Lineare Differentialgleichungen unendlich hoher Ordnung mit ganzen rationalen Koeffizienten. (German) JFM 48.0480.02

Nachdem Hilb in der ersten Mitteilung (Math. Ann. 82, 1-39; F. d. M. 47, 405 (JFM 47.0405.*), 1919-20) die lineare Differentialgleichung unendlich hoher Ordnung \[ \sum_{\nu=0}^\infty g_\nu(x)y^{(\nu)}=f(x) \tag{1} \] für den Fall behandelt hat, daß die \(g_\nu(x)\) Polynome ersten Grades sind, greift er in der zweiten Mitteilung mit wesentlich den gleichen Methoden den Fall an, daß die \(g_\nu(x)\) Polynome \(p\)-ten Grades sind. Von der Funktion \(f(x)\) wird vorausgesetzt, daß der von \(x\) unabhängige obere Limes \[ \varlimsup_{\nu \to \infty} \root \nu \of {|f^{(\nu)}(x)|} \tag{2} \] höchstens gleich einer positiven Zahl \(q\) sei, und gesucht sind solche Integrale \(y\), für die auch \[ \varlimsup_{\nu \to \infty} \root \nu \of {|f^{(\nu)}|}\leqq q \tag{3} \] ist. Die Differentialgleichung wird durch sukzessive Differentiation auf ein System von unendlich vielen linearen Gleichungen mit den Unbekannten \(y\), \(y'\), \(y''\), …zurückgeführt, das sich nach einigen Umformungen der allgemeinen Theorie der unendlichen Bilinearformen fügt. So gelingt es unter gewissen Voraussetzungen, durch welche das Auftreten unangenehmer Ausnahmefälle verbindert wird, für das allgemeine Integral einen Existenzbeweis zu führen und insbesondere die Anzahl der willkürlichen Konstanten zu bestimmen. Am Schluß werden die Integrale auch mit Hilfe der Laplaceschen Transformation in geschlossener Form dargestellt.
Perron behandelt dieselbe Aufgabe nach einer neuen Methode, bei welcher die Ausnahmefälle als solche gar nicht in Erscheinung treten, sondern einheitlich miterledigt werden. Statt des erwähnten Systems mit unendlich vielen Unbekannten genügt es, ein etwas spezielleres zu betrachten, und dessen allgemeine Lösung gelingt auf Grund einer vorausgehenden Arbeit über Summengleichungen (vgl. das vorige Referat). So ergeben sich die zwei folgenden, ausnahmslos gültigen Sätze, wobei \[ \begin{aligned} &g_\nu(x)= \alpha_{\nu 0} + \alpha_{\nu 1} x + \cdots + \alpha_{\nu p}x^p\quad (\nu = 0, 1, 2,\dots), \\ &h_\lambda(z)= \alpha_{0 \lambda} + \alpha_{1\lambda}z + \alpha_{2 \lambda}z^2 + \cdots\quad (\lambda=0,1, \ldots, p) \end{aligned} \] gesetzt ist:
I. Die homogene Differentialgleichung (1) (d. h. bei der \(f(x)=0\) ist) hat genau \(n-p+s\) linear unabhängige Integrale, die der Nebenbedingung (3) genügen. Dabei bedeutet \(s\) die Anzahl der linear unabhängigen im Bereich \(|z|\leqq q\) regulären Integrale der linearen Hilfsdifferentialgleichung \(p\)-ter Ordnung \[ \sum_{\lambda=0}^p h_\lambda(z)\frac{d^\lambda\varphi(z)}{dz^\lambda}=0. \]
II. Die inhomogene Differentialgleichung (1) hat dann und nur dann bei jeder Wahl der Funktion \(f(x)\) mit der Nebenbedingung (2) Integrale \(y\), die der Forderung (3) genügen, wenn die betreffende homogene Differentialgleichung genau \(n-p\) Integrale hat, d. h. nach dem vorigen Satz, wenn die Hilfsdifferentialgleichung kein im ganzen Bereich \(|z|\leqq q\) reguläres Integral hat.
In der dritten Mitteilung gelingt es Hilb, die ausnahmslose Gültigkeit dieser Sätze ebenfalls zu beweisen, indem er seine frühere Methode mit einigen Gedanken der Perronschen Arbeit kombiniert. (IV 9.)

Citations:

JFM 47.0405.*
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References:

[1] Die erste steht Math. Annalen82 (1920), S. 1-39; die zweite geht der gegenwärtigen Arbeit unmittelbar voran.
[2] H. von Koch: Sur les équations différentielles linéaires d’ordre infini. Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik16 (1921).
[3] Vgl. die Einleitung der ersten Hilbschen Arbeit.
[4] Um den Vergleich mit der zweiten Hilbschen Arbeit zu erleichtern, habe ich mich ihr in der Bezeichnung möglichst angeschlossen. Doch schien mir eine Indexverschiebung zweckmäßig, derzufolge meineg ? (x), h? (z), ? ?? mit den Hilbscheng ?+1 (x), h?+1 (z), ? ?+1,?+1 identisch werden; außerdem ist meine Anzahln die Hilbsche Anzahln+p.
[5] Es ist nicht ausgeschlossen, daßg ? (x) für alle hinreichend großen ? identisch verschwindet, so daß die Differentialgleichung (1) nur von endlicher Ordnung ist. Auch für Differentialgleichungen endlicher Ordnung sind die Resultate dieser Arbeit neu und nicht trivial.
[6] Diesen Satz hatte ich bei der ursprünglichen (am 22.3. 1921 bei der Redaktion eingegangenen) Fassung meines Manuskriptes als Vermutung ausgesprochen; der Beweis war mir nur mit gewissen Einschränkungen gelungen. Auch Satz 1 hatte ich nur dahin formuliert und bewiesen, daß mindestensn?p und höchstensn Integrale vorhanden sind. Als ich bald darauf den ganzen Beweis beider Sätze fand, habe ich mein Manuskript von der Redaktion zurückerbeten und entsprechend abgeändert. Mittlerweile hatte ich Herrn Hilb von meinem ursprünglichen Manuskript Kenntnis gegeben, und es ist ihm gelungen, durch eine Verschmelzung seiner und meiner Methode gleichzeitig mit mir ans selbe Ziel zu gelangen (vgl. seine dritte Mitteilung). Unsere Beweise der beiden Sätze stimmen in den meisten Zwischenstationen überein; doch werden die einzelnen Teilstrecken auf verschiedenen Wegen durchlaufen. (25. 4. 1921) ? Herr von Koch führt a. a. O. statt meiner Hilfsdifferentialgleichung die dazu adjungierte ein. Er gelangt, soviel ich sehe, ebenfalls zum Satz 2, während er an Stelle von Satz 1 nur findet, daß mindestensn?p Integrale vorhanden sind.
[7] Über Summengleichungen und Poincarésche Differenzengleichungen. Dieser Band, S. 1. Der Hilfssatz ist der dortige Satz 2; sein Beweis ist in den § § 1, 3, 4 enthalten, § 2 ist dafür entbehrlich.
[8] Fürp=0 fallen die Gleichungen (9) natürlich weg.
[9] Fallsp=0, istb ??=0 zu setzen.
[10] Fürn=0 hat (10) mitc ?=0 nur die triviale LösungD ?=0. Also gibt es auch keine Integrale der homogenen Differentialgleichung außery=0. Damit ist fürn=0 der Satz 1 bereits bewiesen, da in diesem Fall offenbars=p ist.
[11] Der Fallp=0 erübrigt sich. Denn weil dann offenbar auchs=0 ist, weil außerdem die Gleichungen (9) wegfallen, also keine Bedingungen mehr zu befriedigen sind, ist Satz 1 für diesen Fall durch die vorausgehenden Betrachtungen schon erledigt.
[12] Die Fällen=0 undp=0 erledigen sich wieder ohne weiteres.
[13] Nach Satz 2 meiner Arbeit: ?Über diejenigen Integrale linearer Differentialgleichungen, welche sich an einer Unbestimmtheitsstelle bestimmt verhalten?, Math. Annalen70 (1911), S. 1-32. Einen erheblichen Teil meines Beweises hat kürzlich Herr Hilb in einer gleichbetitelten Arbeit wesentlich vereinfacht, Math. Annalen82 (1921), S. 40 und 41.
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