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Einige Sätze über Reihen von allgemeinen Orthogonalfunktionen. (German) JFM 48.0485.05
In Verschärfung eines bekannten Satzes von Weyl wird gezeigt: Bilden die \(\varphi_\nu(x)\) ein normiertes Orthogonalsystem des Intervalles \((0,1)\) und ist \(\sum\limits_{\nu=1}^\infty c_\nu^2\) konvergent, bestimmt man ferner eine monoton wachsende Folge positiver Zahlen \(\lambda(\nu)\) so, daß auch noch \(\sum\limits_{\nu=1}^\infty \lambda(\nu)c_\nu^2\) konvergiert (was auf unendlich viele Arten möglich ist) und versteht man unter \(\varLambda_\varrho\) das kleinste \(\lambda(\nu)\), für das \(\lambda(\nu) \geqq \varrho\), so stellt \(\lim\limits_{\nu\to \infty}\sum\limits_{\nu=1}^{\varLambda_n} c_\nu\varphi_\nu(x)\) überall in \((0,1)\), abgesehen von einer Nullmenge, eine endliche Funktion dar. Daraus kann in bekannter Weise der Riesz-Fischersche Satz gewonnen werden. – Ist \(\sum\limits_{\nu=1}^\infty (c_\nu\log \nu)^2\) konvergent, so konvergiert \(\sum\limits_{\nu=1}^\infty c_\nu\varphi_\nu(x)\) überall, abgesehen von einer Nullmenge (bisher war dies – nach Plancherel – nur bekannt, wenn \(\sum c_\nu^2(\log\nu)^3\) konvergiert). Ist \(\sum c_\nu^2\) konvergent, so ist überall, abgesehen von einer Nullmenge: \(\sum\limits_{\nu=1}^\infty c_\nu\varphi_\nu(x)=o(\log n)\). Ferner gelten (abgesehen von einer Nullmenge) die Abschätzungen: \(\sum\limits_{\nu=1}^n \varphi_\nu(x)=O(n^{\frac 12}(\log n)^{\frac 32 +\varepsilon})\), \(\sum\limits_{\nu=1}^n a_\nu\varphi_\nu(x)=O(\log n) (\sum\limits_{\mu=1}^n a_\mu^2)^{\frac 12 +\varepsilon})\). Alle diese Abschätzungen gelten “wesentlich gleichmäßig”. Alle diese Resultate gelten auch, wenn die \(\varphi_\nu(x)\) nicht ein normiertes Orthogonalsystem des Intervalles \((a,b)\) bilden, wenn nur der Ausdruck \( \int\limits_a^b \bigl(\sum\limits_{\nu=1}^\infty z_\nu \varphi_\nu(x)\bigr){}^2\,dx\) eine beschränkte quadratische Form der \(z_\nu\) ist (denn dann können die \(\varphi_\nu(x)\) so auf ein größeres Intervall ausgedehnt werden, daß sie in diesem größeren Intervall ein normiertes Orthogonalsystem bilden).– Seien die \(\varphi_\nu(x)\) wieder ein normiertes Orthogonalsystem in \((0,1)\). Die Ausdrücke \(\varrho_\nu(x)= \int\limits_0^1\bigl|\sum\limits_{\nu=1}^n \varphi_\nu(x)\varphi_\nu(y)\bigr|\,dy\) werden als die zugehörigen “Lebesgueschen Funktionen” bezeichnet (im Falle des trigonometrischen Orthogonalsystems reduzieren sie sich auf Konstante und sind dort als “Lebesguesche Konstante” bekannt). Abgesehen von einer Nullmenge gilt die Abschätzung \(\varrho_\nu(x)= O\bigl((\log n)^{\frac 32+\varepsilon}n^{\frac 12}\bigr)\), die sich, falls die \(\varrho_\nu(x)\) Konstante sind, zu \(\varrho_\nu = O(n^{\frac 12})\) verschärft. – Es wird folgendes normierte Orthogonalsystem von \((0,1)\) näher studiert: \(\psi(x)=2e_\nu(x)-1\), wo \(e_\nu(x)\) die \(\nu\)-te Stelle der Dezimalbruchentwicklung von \(x\). Hier kann die Abschätzung \(\sum\limits_{\nu=1}^n \psi_\nu(x) =O(n^{\frac 12})\) nur in einer Nullmenge gelten; es kann also in der oben gegebenen Abschätzungsformel für \(\sum\limits_{\nu=1}^n \varphi_\nu(x)\) die rechte Seite nicht zu \(O(n^{\frac 12})\) verschärft werden. Die Lebesgueschen Funktionen werden hier Konstante \(\varrho_n\), die asymptotisch gleich \(\sqrt{\dfrac{2n}\pi}\) sind, so daß die oben gegebene Abschätzung \(\varrho_n = O(n^{\frac 12})\) nicht verschärft werden kann. Ist \(\sum c_\nu^2\) konvergent, so konvergiert \(\sum c_\nu \psi_\nu(x)\) überall, abgesehen von einer Nullmenge.
Reviewer: Hahn, Prof. (Wien)

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