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Über die Gestalt der Integralkurven einer Differentialgleichung erster Ordnung in der Umgebung eines singulären Punktes. (German) JFM 48.0505.01
Verf. fragt nach der Gestalt der Integralkurven der Differentialgleichung \[ (kx + ly + f (x, y))\, dy = (mx + ny + \varphi (x, y))\, dx \] in der Umgebung des singulären Nullpunktes.
Für den Fall, daß \(f (x, y)\) und \(\varphi (x, y)\) Potenzreihen sind, die mit Gliedern zweiter Dimension beginnen, hat Poincaré (Journ. de Math. 1881, 1882) das gestellte Problem gelöst. In der vorliegenden Arbeit wird aber vom Verf. über \(f (x, y)\) und \(\varphi (x, y)\) nur vorausgesetzt, daß ihre partiellen Ableitungen erster Ordnung einer Lipschitzbedingung der Form \[ \lim _{\substack{ x=0 \\ y=0 }} \frac{| f_x (x, y)| +| f_y (x, y) | + |\varphi_x (x, y)| +|\varphi_y (x, y)|}{(|x| + |y|)^\delta} = 0 \] (\( \delta > 0\)) genügen.
Es werden hier nur die drei Fälle
\((\text{I}) \qquad \qquad \;\;(k - n)^2 + 4lm > 0, \quad kn - lm >0,\)
\((\text{II}) \qquad \qquad \;(k - n)^2 + 4lm = 0, \quad kn - lm \not = 0, \quad |l| +|m| = 0, \)
\((\text{III}) \qquad \qquad (k - n)^2 + 4lm = 0, \quad kn - lm \not = 0, \quad |l| +|m| > 0\)
untersucht (die noch fehlenden Fälle, vor allem der wichtige Fall \((k- n)^2 + 4lm < 0\), sind einer später erscheinenden Fortsetzung vorbehalten), wobei sich ergibt, daß von dem Nullpunkt unendlich viele Integralkurven ausgehen; und zwar haben
im Falle (I) alle Kurven im Nullpunkte eine gemeinsame Tangente mit Ausnahme einer einzigen, die eine andere Tangente hat;
im Falle (II) geht in jeder Richtung genau eine Kurve durch den Nullpunkt;
im Falle (III) haben ausnahmslos alle Kurven im Nullpunkt eine gemeinsame Tangente, und zwar gibt es unter diesen Kurven eine, die von allen andern zugleich durchsetzt wird.
Es sei hervorgehoben, daß Verf. in wichtigen Spezialfällen mit wesentlich geringeren Voraussetzungen über \(f(x, y) \) und \( \varphi (x, y)\) auskommt.

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References:
[1] Über die Literatur vergleiche man die Artikel von Painlevé und Liebmann in der Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften II. 1. 1, § § 24?30 und III D. 8, § 3. Eine ausführlichere Darstellung der wichtigsten Fälle findet sich in Abschnitt XII des Buches von Horn, Gewöhnliche Differentialgleichungen beliebiger Ordnung. Leipzig 1905.
[2] Man vergleiche dagegen die Beispiele auf Seite 128 unten und 131.
[3] Satz 2 meiner Arbeit: Ein neuer Existenzbeweis für die Integrale eines Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen, Math. Ann.78 (1918), S. 378?384.
[4] Nach Satz 2 gibt es solche Integrale.
[5] Damit werden die beiden Fälle, daß der lim sup endlich oder unendlich ist, beide zugleich umfaßt.
[6] Hier kann es nötig werden, fürx 0 eine etwas kleinere Zahl zu wählen; doch bleibtx 0 dann fest und jedenfalls von ? unabhängig.
[7] Diese Transformation ist von allen Autoren bereits benutzt worden und wird hier nur der Vollständigkeit halber nochmals durchgeführt.
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