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Über lineare Differentialgleichungen vierter Ordnung mit Singularitäten und die dazugehörigen Darstellungen willkürlicher Funktionen. (German) JFM 48.0519.01
Die Randwertaufgabe der sich selbst adjungierten Differentialgleichung vierter Ordnung \[ \frac{d^2}{ds^2} \left(p \frac{d^2 u}{ds^2}\right) + \frac{d}{ds} \left(q \frac{du}{ds}\right) + (r + \lambda) u = 0 \] für das Intervall \(0 \leqq s < \infty\) wird nach dem Vorbild der Weylschen Behandlung der Differentialgleichung zweiter Ordnung (Math. Ann. 68, 220; F. d. M. 41, 343 (JFM 41.0343.*), 1910) als Grenzfall \(a \to \infty\) der gleichen Randwertaufgabe für ein endliches Intervall \(0 \leqq s \leqq a\) untersucht. Eine analoge geometrische Deutung im vierdimensionalen Raume zweier komplexen Parameter eigibt bei komplexem \(\lambda\) die beiden Möglichkeiten des “Grenzflächenfalles”, in dem sämtliche Integrale der Differentialgleichung, und des “Grenzpunktfalles”, in dem nur 2 von ihnen im Intervall \((0, \infty)\) quadratisch integrierbar sind. Für den Grenzpunktfall wird dann, genau wie es Hilb (Math. Ann. 76, 333; F. d. M. 45, 495 (JFM 45.0495.*), 1914-15) für die Differentialgleichung zweiter Ordnung getan hat, durch Anwendung des Cauchyschen Residuensatzes auf die Greensche Funktion eine dem Fourierschen Integral analoge Darstellung viermal stetig differentiierbarer und absolut quadratisch integrierbarer Funktionen durch den Limes eines komplexen Integrales hergeleitet; dabei wird die Birkhoffsche asymptotische Darstellung der Integrale der Differentialgleichungen für große \(\lambda\) wesentlich verwendet.

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References:
[1] Math. Ann.68, S. 220 ff.
[2] Math. Ann.76, S. 333f.
[3] Weyl, l. c. Math. Ann.76, S. 228.
[4] Trans. Am. Math. Soc.9, S. 219f.
[5] Vgl. G. D. Birkhoff, Trans. Am. Math. Soc.9, S. 373f. J. Tamarkine, Rend. del Circ. Mat. Palermo34, S. 345f.
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