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Zur Theorie der linearen Differenzengleichungen. (German) JFM 48.0529.02
Verf. stellt sich die Aufgabe, eine Losung der linearen Differenzengleichung \[ (ax + b)f(x + 1)+(cx+d)f(x) = g(x) \] durch gewisse Grenzbedingungen eindeutig festzulegen; er behandelt vier verschiedene Arten von Grenzbedingungen.
I. Setzt man voraus, daß \[ \operatornamewithlimits{\overline {\lim}}_{n\to \infty }\root n \of {|g(x+n)|} < \Bigl|\frac {c}{a}\Bigr| \] ist und stellt die Grenzbedingung \[ \operatornamewithlimits{\overline {\lim}}_{n\to \infty }\root n \of {|f(x+n)|} < \Bigl|\frac {c}{a}\Bigr|, \] so ist dadurch eine Lösung eindeutig festgelegt, und zwar läßt sie sich durch die Reihe darstellen: \[ \begin{split} f(x)= \frac {g(x)}{cx+d} - \frac {ax+b}{cx+d}\,\frac {g(x+1)}{cx+c+d}\;+\\ + \frac {ax+b}{cx+d}\,\frac {ax+a+b}{cx+c+d}\,\frac {g(x+2)}{cx+2c+d} -+\cdots, \end{split} \] was übrigens ganz unmittelbar einzusehen ist.
II. Ist k eine Konstante, so setze man \[ f(x+1) -kf(x) =\varDelta _kf(x) = \varDelta _k^1f(x), \;\;\varDelta _k\varDelta _k^{n-1}f(x)= \varDelta _k^nf(x). \] Ist dann \(q_2\) eine Zahl, die zwischen den als verschieden vorausgesetzten absoluten Beträgen von \(k\) und \(k+\dfrac {c}{a}\) liegt, und wird \[ \operatornamewithlimits{\overline {\lim}}_{n\to \infty }\root n \of {|\varDelta _k^ng(x)|} < q_2 \] vorausgesetzt, so gibt es eine und nur eine Lösung, für die auch \[ \operatornamewithlimits{\overline {\lim}}_{n\to \infty }\root n \of {|\varDelta _k^nf(x)|} < q_2 \] ist. Sie läßt sich in Form einer Reihe darstellen: \[ f(x)= \sum _{\nu =0}^\infty \psi _{0\nu }(x) \varDelta _k^\nu \,g(x). \]
III. Wenn man \(f(x+1)\) in die Taylorsche Reihe \(\sum \dfrac {1}{\nu !}f^{(\nu )}(x)\) entwickelt, geht die Differenzengleichung über in eine Differentialgleichung unendlich hoher Ordnung. Dann ergibt sich der Satz: Sind \(v_1\) und \(v_2\) die zwei absolut kleinsten Werte des Logarithmus von \(\dfrac {-c}{a}\) und ist \(q_3\) eine Zahl im Intervall \(|v_1|<q_3<|v_2|\), so gibt es unter der Voraussetzung \[ \operatornamewithlimits{\overline {\lim}}_{n\to \infty }\root n \of {|g^{(n)}(x)|} < q_3, \] wenn \(\dfrac {ad-bc}{ca}\) keine positive ganze Zahl ist, eine und nur eine Lösung \(f(x)\), für welche \[ \operatornamewithlimits{\overline {\lim}}_{n\to \infty }\root n \of {|f^{(n)}(x)|} < q_3, \] ist. Sie läßt sich in Form einer Reihe darstellen: \[ f(x)= \sum _{\nu =0}^\infty \chi _{0\nu }(x) g^{(\nu )}(x). \]
Diese drei Sätze werden im wesentlichen dadurch bewiesen, daß die Differenzengleichung auf ein System von linearen Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten und zwar
im Fall I mit den Unbekannten \(f(x)\), \(f(x+1)\), \(f(x+2)\), . . .
im Fall II mit den Unbekannten \(f(x)\), \(\varDelta _kf(x)\), \(\varDelta _k^2f(x)\), . . .
im Fall III mit den Unbekannten \(f(x)\), \(f'(x)\), \(f^{\prime\prime }(x)\), . . .
zurückgeführt wird.
IV. Dagegen beruht der vierte Ansatz auf einem anderen Prinzip und zwar in der Hauptsache auf Residuenrechnung. Setzt man voraus, daß \(g(x)\) für genügend große Werte von \(\mathfrak R (x)\) die Form \(\dfrac {\lambda }{x}+O\,\Bigl(\dfrac {1}{x^2}\Bigr)\) hat, und stellt man die Grenzbedingung, daß \(f(x)\) ebenfalls von dieser Form ist, so gibt es wieder eine und nur eine derartige Lösung, und zwar läßt sie sich durch das Integral \[ f(x) =\int _0^\infty e^{-ux} F(u)\,du \] darstellen. Dabei ist \(F(u)\) die für \(u=0\) verschwindende Lösung der linearen Differentialgleichung: \[ (ae^{-u}+c) F'(u) +[(b-a)e^{-u} +d] F(u) = \int _{k-i\infty }^{k+i\infty }e^{uz} g(z)\,dz. \]
Subjects:
Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 11. Differenzengleichungen und verwandte Funktionalgleichungen. Analytische Theorie der Kettenbrüche.
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References:
[1] N. E. Nörlund, Sur l’état actuel de la théorie des équations aux différences finies. Bull. Soc. math. (2)44 (1920)
[2] Der Nachweis dieses Hilfssatzes bildet den wesentlichen Inhalt des Kapitel I meiner Arbeit, Lineare Differentialgleichungen unendlich hoher Ordnung mit ganzen rationalen Koeffizienten. (1. Mitteilung.) Math. Ann.82 (1920), S. 1?39.
[3] Vgl. 1. c. Math. Ann.82, Kap. I.
[4] Vgl. zu diesem Paragraph E. Hilb, Zur Theorie der linearen Differenzengleichungen, erscheint in Math. Ann.
[5] Vgl. Hilb, 1. c. Math. Ann.82, S. 11.
[6] Vgl. hierzu E. Hilb, l. c. 4).
[7] Die notwendigen Grundlagen liefern hierfür E. Hilb, Lineare Differentialgleichungen unendlich hoher Ordnung. 2. Mitteilung Math. Ann.84, S. 16?30; 3. Mitteilung ebenda, S. 33?52. O. Perron, ebenda, S. 31?42. H. v. Koch, Sur les équations différentielles linéaires d’ordre infini. Arkiv för Mat.15 (1921).
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