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Zur Theorie der linearen Differenzengleichungen. 2. Mitteilung. (German) JFM 48.0531.01
Hier wird die erste Methode der vorstehend besprochenen Arbeit ausgedehnt auf die allgemeinere lineare Differenzengleichung \[ \sum _{\nu =0}^m \lambda ^\nu \sum _{p=0}^n a_{\nu p}x^pf(x+\nu ) = g(x). \] Sei \(a_{0n}\neq 0\) und sei \(z_1\) die absolut kleinste Wurzel der Gleichung \[ \sum _{\nu =0}^m a_{\nu n}z^\nu =0. \] Wenn dann die Voraussetzung gemacht wird \[ \operatornamewithlimits{\overline {\lim }}_{n\to \infty } \root n\of {|g(x+n)|} < \Bigl|\frac {z_1}{\lambda }\Bigr|, \] so hat die Differenzengleichung eine und nur eine Lösung \(f(x)\), für welche \[ \operatornamewithlimits{\overline {\lim }}_{n\to \infty } \root n\of {|f(x+n)|} < \Bigl|\frac {z_1}{\lambda }\Bigr| \] ist. Sie läßt sich durch eine Reihe \[ f(x) = \sum _{\nu =0}^\infty \varphi _\nu \lambda ^\nu g(x+\nu ) \] darstellen, wo die \(\varphi _\nu \) gewisse rationale Funktionen von \(x\) sind. Wird die obige Voraussetzung über \(g (x)\) nicht gemacht, so ist die Reihe trotzdem brauchbar, wenn man sie durch ihre analytische Fortsetzung in der \(\lambda \)-Ebene ersetzt.
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References:
[1] Math. Zeitschrift14 (1922), S. 211?229.
[2] Vgl. die in I zitierte Arbeit von Nörlund.
[3] Lineare Differentialgleichungen unendlich hoher ordnung mit ganzen rationalen Koeffizienten. Math. Ann.82 (1920), S. 1?39, insb. S. 3?7; Math. Ann.84 (1921), S. 16?30. · JFM 47.0405.01
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