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Zur Theorie der linearen Differenzengleichungen. (German) JFM 48.0532.01
An den zwei Beispielen der Differenzengleichungen \[ \begin{aligned} &f(x + 1) + f(x) = g(x),\tag{1} \\ &f(x + 1) - xf(x) = g(x)\tag{2} \end{aligned} \] wird gezeigt, wie man die Lösungen durch Grenzbedingungen eindeutig festlegen kann. Für die Lösungen werden zahlreiche Darstellungen durch unendliche Reihen und bestimmte Integrale angegeben, wovon hier drei Proben eine Vorstellung geben mögen:
\ I. Wenn \(\operatornamewithlimits{\overline {\lim }}_{n\to \infty } \root n\of {|g^{(n)}(x)|} < q<2\pi \) ist, so hat (1) eine und nur eine Lösung \(f(x)\), für die auch \(\operatornamewithlimits{\overline {\lim }}_{n\to \infty } \root n\of {|f^{(n)}(x)|} < q\) ist. Und zwar ist \[ f(x) = \sum _{\nu =0}^\infty \frac {c_\nu }{\nu !}\,g^{(\nu )}(x), \] wobei die \(c_\nu \) durch die Gleichung definiert sind: \[ \frac {1}{e^z+1} = \sum _{\nu =0}^\infty \frac {c_\nu }{\nu !}\,z^\nu . \]
II. Wenn \(g(x)\) für große Werte von \(\mathfrak R(x)\) die Form \(\dfrac {a}{x} +O\,\Bigl(\dfrac {1}{x^2}\Bigr)\) hat, so hat (1) eine und nur eine Lösung von eben dieser Form, und zwar ist \[ f(x) = \frac {1}{2\pi i}\int _{k-i\infty }^{k+i\infty }\,dzg(z)\, \int _0^\infty \frac {e^{-u(x-z)}}{e^{-u}+1}\,du. \]
III. Wenn \(g(x)\) wieder die soeben angegebene Form hat, dann hat (2) eine und nur eine Lösung der gleichen Form, und diese läßt u. a. die folgende Darstellung zu: \[ f(x) = -\sum _{\nu =0}^\infty \frac {g(x+\nu )}{x(x+1)\cdots (x+\nu )}. \]
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References:
[1] N. E. Nörlund, Sur l’état actuel de la théorie des équations aux differénces finies. Bull. Sc. math. 1921. Herr Nörlund hatte die Liebenswürdigkeit, mir Abzüge seiner in den Acta math. erscheinenden umfangreichen Arbeit zur Verfügung zu stellen.
[2] F. Schürer, Eine gemeinsame Methode zur Behandlung gewisser Funktional-gleichungsprobleme. Leipz. Ber.70 (1918), S. 185-246; vgl. auch H. v. Koch, On a class of equations connected with Euler-Maclaurin’s sum formula. Ark. for Math., Astr. och Fys.15 Nr. 26 (1921); O. Perron, Über Summengleichungen und Poincarésche Differenzengleichungen. Math. Annalen84 (1921), S. 1-18. E. Hilb, Lineare Differentialgleichungen unendlich hoher Ordnung mit ganzen rationalen Koeffizienten, 3. Mitteilung, Math. Annalen84 (1921), S. 43-52.
[3] E. Hilb, Lineare Differentialgleichungen usf. 1. Mitteilung, Math. Annalen82 (1920), S. 1-39; 2. Mitteilung, Math. Annalen84 (1921), S. 16-30. · JFM 47.0405.01 · doi:10.1007/BF01457972
[4] S. Pincherle, Sull’inversione degl’integrali definiti. Mem. Soc. ital. (3)15 (1907).
[5] Vgl. hierzu auch H. v. Koch, l. c.-H. v. Koch. On a class of equations connected with Euler-Maclaurin’s sum formula. Ark. for Mat., Astr. och Fys.15 Nr. 26 (1921); · JFM 48.0478.03
[6] Vgl. etwa S. Pincherle, Sur les fonctions déterminantes. Ann. Ec. norm.125 (1905), S. 28.
[7] Nörlund, l. c. N. E. Nörlund, Sur l’état actuel de la théorie des équations aux differénces finies. Bull. Sc. math. 1921 S. 13f. · JFM 47.0422.03
[8] Vgl. Hilb. l. c. 3. E. Hilb, Lineare Differentialgleichungen usf. 1. Mitteilung, Math. Annalen82 (1920), S. 8.
[9] F. Prym, Zur Theorie der Gammafunktion. Journ. für Math.82, S. 165-172. · JFM 08.0168.01
[10] Vgl. Hilb, l. c. 3, E. Hilb, Lineare Differentialgleichungen usf. 1. Mitteilung, Math. Annalen82 (1920), S. 2. · JFM 47.0405.01
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