Sur certaines solutions exceptionnelles d’une équation linéaire aux différences finies. (French) JFM 48.0533.01

Galbrun, H.

Bull. Soc. Math. Fr. 49, 206-241 (1921).

Es werden Differenzengleichungen der Form \[ A_0f(x+r) + A_1f(x+r-1) +\cdots +A_1f(x) =0 \] behandelt, wo die \(A_\nu \) Polynome \(q\)-ten Grades in \(x\) sind: \[ A_\nu = a_{\nu 0}x^q +\cdots . \] Dabei soll die “charakteristische Gleichung” \[ a_{00}y^r +a_{10}y^{r-1} +\cdots +a_{r0}=0 \] eine Doppelwurzel haben. Die Laplacesche Transformation führt dann zwar auf eine lineare Differentialgleichung mit einer Unbestimmtheitsstelle, erweist sich aber doch zur Darstellung und asymptotischen Entwicklung der Integrale \(f(x)\) geeignet. Man findet in verschiedenen Sektoren der \(x\)-Ebene verschiedene asymptotische Entwicklungen der Form \[ \alpha ^xx^\lambda =\Bigl(C_0+\frac {C_1}{x}+\frac {C_2}{x^2}+\cdots \Bigr) \] und der Form \[ e^{k\sqrt x} x^\lambda =\Bigl(D_0+\frac {D_1}{\sqrt x}+\frac {D_2}{\sqrt {x^2}}+\cdots \Bigr), \] wobei insbesondere das Auftreten von \(\sqrt x\) der Unbestimmtheitsstelle zuzuschreiben ist.

Reviewer: Perron, O., Prof. (München)

MSC:

39A06

Linear difference equations

JFM Section:

Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 11. Differenzengleichungen und verwandte Funktionalgleichungen. Analytische Theorie der Kettenbrüche.

Keywords:

exceptional solutions; linear difference equations