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Sur quelques équations du second ordre qui admettent une transformation de Bäcklund. (French) JFM 48.0538.03
Jedes System \(S\) von 2 Pfaffschen Gleichungen in 6 Veränderlichen kann auf die Form \[ dz - pdx - qdy = 0,\quad du - Xdx - Ydy - Pdp - Qdq = 0 \tag{1} \] gebracht werden, wo \(X\), \(Y\), \(P\), \(Q\) von \(x\), \(y\), \(z\), \(p\), \(q\), \(u\) abhängen. Soll nun \(S\) eine Lösung haben, bei der \(z\), \(p\), \(q\), \(u\) Funktionen von \(x\), \(y\) sind, so muß eine Integrabilitätsbedingung erfüllt sein, die aus der zweiten Gleichung folgt. Unter Umständen wird diese Bedingung frei von \(u\) und ist dann eine Monge-Ampèresche Gleichung \(E\), die der Verf. als eine Resolvente zweiter Art von \(S\) bezeichnet. Er behandelt die Aufgabe, alle Systeme \(S\) zu finden, die eine gegebene Gleichung \(E\) zur Resolvente zweiter Art haben, beschränkt sich aber dabei auf den Fall, daß \(E\) die Form \(s + F (x, y, z, p, q) = 0\) hat, wo \(F\) in \(p\) und \(q\) bilinear ist. Die zweite Gleichung (1) muß dann die Form haben: \[ du-f(x,y,z,p,u)\,dx - \varphi(x,y,z,q,u)\,dy = 0. \] Der Verf. bestimmt nun alle Gleichungen von dieser Form, die zu einer Gleichung von der Gestalt \[ s + g (x, y, z)pq + a(x, y, z) p + b(x,y,z)q + c(x, y, z) = 0 \] führen. Vollständig erledigt er diese Aufgabe allerdings nur unter der Voraussetzung, daß weder \(f\) linear in \(p\), noch \(\varphi\) linear in \(q\) ist. Die hierdurch ausgeschlossenen Fälle sollen in einer späteren Arbeit behandelt werden.
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Full Text: DOI Numdam EuDML