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Sur quelques transformations d’équations aux dérivées partielles. (French) JFM 48.0539.01
Darboux Bull. (2) 46, 370-384 (1922); 46, 390-403 (1922).
Man findet hier die früher vom Verf. angekündigte Fortsetzung seiner Untersuchungen über die Gleichungen \[ du = F(x,y,z,p,q)\,dx + \varPhi(x,y,z,p,q)\,dy, \tag{1} \] deren Integrabilitätsbedingung von \(u\) frei, also eine Monge-Ampèresche Gleichung ist (F. d. M. 47, 440 (JFM 47.0440.*), 1919-20). Er betrachtet jetzt die Gleichung \[ du=(Up+U_1)\,dx+(U_2q+U_3)\,dy, \tag{3} \] wo die \(U\) nur \(x\), \(y\), \(z\), \(u\) enthalten, und bringt diese auf die Form \[ du = (V(x, y, z,u) + p)\,dx + (V_1(x, y, z, u) - q)\,dy. \tag{5} \] Es gibt vier besondere Fälle. In dem einen kann man durch geeignete Transformation erreichen, daß die rechte Seite von (3) frei von \(u\) wird; im zweiten hat die M.-A.sche Gleichung: ein intermedïares Integral erster Ordnung, im dritten hat sie die Form \[ s + \frac d{dy}(Fe^z)-\frac d{dx}(Fe^{-z})=0, \tag{20} \] wo \(F\) nur \(x\), \(y\), \(z\) enthält. Der vierte liefert alle Gleichungen (5), deren Integrabilitätsbedingung die Form: \(s = F (x, y, z)\) hat, also eine Verallgemeinerung der Bäcklundschen Transformation der bekannten Gleichung: \(s = \sin 2z\). Im allgemeinen Falle kommt der Verf. auf die Aufgabe, \(X(x)\) und \(Y(y)\) so zu bestimmen, daß die Gleichungen \[ r + s- Y'p = e^{X+Y},\quad s + t- X'q=e^{X+Y} \tag{33} \] gemeinsame Lösungen haben. Dabei stellt sich heraus, daß neue Lösungen der ursprünglichen Aufgabe nur herauskommen, wenn die allgemeinste Lösung von (33) höchstens zwei willkürliche Konstanten enthält. Die verschiedenen Möglichkeiten werden untersucht, und es bleibt nur der Fall übrig, daß die allgemeinste Lösung von (33) bloß eine additive willkürliche Konstante enthält. Der Verf. will später auf diesen Fall zurückkommen.
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