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I sistemi di Darboux alle derivate parziali. (Italian) JFM 48.0547.01
Darbouxsche Systeme nennt der Verf. solche Systeme \(p\) von partiellen Differentialgleichungen 1. Ordnung, die nach gewissen Ableitungen der unbekannten Funktionen aufgelöst sind, und die diese Ableitungen als Funktionen der unbekannten Funktionen und der unabhängigen Veränderlichen bestimmen. Im 1. Teile (S. 15-46) behandelt er die einfachen Systeme dieser Art, bei denen von jeder unbekannten Funktion bloß eine Ableitung auftritt. Er beweist mit Hilfe der Picardschen Methode der sukzessiven Approximationen die Existenz und die Eindeutigkeit der Integrale, ihre Stetigkeit in gewissen Gebieten in bezug auf Anfangswerte und auf Parameter, die in den Differentialgleichungen auftreten, endlich ihre Ableitbarkeit nach diesen Argumenten und nach den unabhängigen Veränderlichen. Er benutzt dabei die durch Variation abgeleiteten Systeme, die wieder einfache Darbouxsche Systeme sind, aber linear in den unbekannten Funktionen. Der 2. Teil (S. 46-90) behandelt Systeme, bei denen jede Unbekannte im allgemeinen durch mehrere Ableitungen und mindestens durch eine vertreten ist. Vorausgesetzt wird dabei, daß die Integrabilitätsbedingungen, die bei einmaliger Differentiation des Systems herauskommen, keine neuen Ableitungen einführen und identisch erfüllt sind. Bewiesen wird nicht bloß die Existenz der Integrale, sondern es wird auch gezeigt, wie man die Integration des Systems auf die Integration einer Reihe von einfachen Systemen zurückführen kann, derart, daß jedes dieser einfachen Systeme eine unabhängige Veränderliche weniger enthält als das vorhergehende, das vor ihm zu integrieren ist. Zwei Beispiele veranschaulichen das Verfahren, ein möglichst allgemeines System, bei dem die Anzahl der unabhängigen Veränderlichen drei ist, und ein spezielles, bei dem sie fünf ist. Endlich wird gezeigt, daß die Integrale in einem gewissen Gebiet einzig und daß sie nach den Anfangswerten und nach etwaigen Parametern ableitbar sind. Der 3. Teil (S. 91-125) bringt einen zweiten Beweis für die Existenz und die Einzigkeit der Lösungen der im 2. Teile betrachteten Systeme. Während er bei dem ersten Beweise nur einmalige Differentiierbarkeit der vorgelegten Gleichungen voraussetzte, nimmt er jetzt an, daß die rechten Seiten Ableitungen nach allen ihren Argumenten bis zu einer bestimmten Ordnung besitzen. Indem er nun durch Differentiation neue Gleichungen hinzufügt, erhält er ein System, das nach gewissen Ableitungen höchster Ordnung aufgelöst ist. Unter den Gleichungen dieses Systems denkt er sich nun eine Anzahl weggelassen, aber so, daß von jeder unbekannten Funktion mindestens eine Ableitung übrig bleibt, nach der aufgelöst ist; indem er dann die rechten Seiten der übriggebliebenen Gleichungen einfach als Funktionen der darin vorkommenden Argumente betrachtet, gelangt er zu einer neuen Klasse von Systemen von Differentialgleichungen, die, wenn die Integrabilitätsbedingungen erfüllt sind, ähnlich behandelt werden können wie die im Anfange von Teil 3 betrachteten Systeme, für die also die Existenz und Einzigkeit der Lösungen bewiesen werden kann. Auch für solche Systeme werden einige Beispiele angegeben. Schließlich wird gezeigt, daß jedes solche System auf ein Darbouxsches System, in dem zu Anfang beschriebenen Sinne, zurückgeführt werden kann.
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Full Text: Numdam EuDML