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Über die Lösungen der Differentialgleichungen der Physik. I. (German) JFM 48.0560.02

Das Problem der Eigenwerte und Eigenfunktionen wird für die Differentialgleichung \(\Delta u + \lambda u = 0\) mit zwei unabhängigen Variablen \(x, y\) und der Randbedingung \(u = 0\) durch Ansatz des zugehörigen Variationsproblemes behandelt. Setzt man (wenn \(G\) das in Frage stehende Gebiet bedeutet): \[ \begin{alignedat}{2}{2} & H_G(\varphi, \psi ) = \int\limits_G \varphi\psi dxdy; && H_G(\varphi ) = H_G(\varphi,\varphi ); \\ & D_G(\varphi, \psi ) = \int\limits_G \left(\dfrac{\partial\varphi}{\partial x}\dfrac{\partial\psi}{\partial x} + \dfrac{\partial\varphi}{\partial y}\dfrac{\partial\psi}{\partial y}\right)dxdy; &\quad & D_G(\varphi ) = D_G(\varphi,\varphi ), \end{alignedat} \] so dreht es sich um folgendes Variationsproblem: Es seien \(v_1,v_2,\ldots,v_l\) gegebene, in \(G\) einschließlich des Randes stetige, im Inneren analytische Funktionen. Unter allen Funktionen \(\varphi\), welche in \(G\) stetig und mit stückweise stetigen Ableitungen versehen sind, welche ferner den Bedingungen \(H_G(\varphi ) =1\), \(H_G(\varphi,v_i) = 0\) (\(i = 1, 2,\ldots, l\)) sowie der Randbedingung \(\varphi = 0\) genügen, soll diejenige gesucht werden, für welche \(D_G(\varphi )\) einen möglichst kleinen Wert erhält. (Dabei wird der Rand von \(G\) lediglich als rektifizierbar vorausgesetzt.) Es wird ausgegangen von einer beliebigen Minimalfolge \(\varphi_1, \varphi_2, \varphi_3\ldots\) dieses Variationsproblemes. Zunächst wird gezeigt, daß ihre “asymptotische Dimensionszahl” \(p\) unter einer von vornherein angebbaren Schranke liegt. (Die “asymptotische Dimensionszahl” einer Funktionenfolge ist dabei so definiert: das Minimum von \(H_G\left(\sum\limits_{i=1}^nc_if_i\right)\) unter der Nebenbedingung \(\sum\limits_{i=1}^nc_i^2=1\) heißt das Unabhängigkeitsmaß der \(n\) Funktionen \(f_1, f_2,\ldots, f_n\); gibt es dann in der Funktionenfolge \(\varphi_1, \varphi_2, \varphi_3\ldots\) Gruppen von je \(p\) Funktionen mit beliebig großem Index, deren Unabhängigkeitsmaß oberhalb einer positiven Zahl bleibt, nicht aber solche Gruppen von mehr als \(p\) Funktionen, so heißt \(p\) die asymptotische Dimensionszahl dieser Folge.) Sodann werden aus der Minimalfolge \(\varphi_1, \varphi_2,\ldots\) \(p\) Minimalfolgen \(\psi_{1i}, \psi_{2i}, \psi_{3i},\ldots\) \((i=1, 2,\ldots, p)\) herausgegriffen, derart, daß \(\psi_{n1}, \psi_{n2},\ldots,\psi_{np}\) für jedes \(n\) ein normiertes Orthogonalsystem bilden, und \(\displaystyle \lim_{n=\infty,m=\infty}H_G(\psi_{ni}-\psi_{mi})=0\), und \(\displaystyle\lim_{n=\infty,m=\infty}D_G(\psi_{ni}-\psi_{mi})=0\) gilt. Jede dieser neuen Minimalfolgen hat die asymptotische Dimensionszahl 1. Wir können also von vornherein annehmen, die Minimalfolge \(\varphi_1, \varphi_2,\ldots\) habe die Eigenschaft \(\displaystyle\lim_{n=\infty,m=\infty}H_G(\varphi_n - \varphi_m)=0\), \(\displaystyle\lim_{n=\infty,m=\infty}D_G(\varphi_n - \varphi_m)=0\). Diese Minimalfolge wird nun in folgender Weise geglättet: Das Gebiet \(G\) wird durch abzählbar viele Rechtecke so überdeckt, daß zur Überdeckung jedes ganz im Innern von \(G\) liegenden Gebietes endlich viele Rechtecke ausreichen. Innerhalb eines dieser Rechtecke \(R\) wird (unter Festhaltung der Randwerte und von \(H_R(\varphi_n)\), \(H_R(\varphi_n,v_i)\) die Punktion \(\varphi_n\) so abgeändert, daß \(D_R(\varphi_n)\) möglichst klein wird, und dies wird der Reihe nach für alle Rechtecke gemacht (daß das betreffende Variationsproblem für Rechtecke eine Lösung besitzt, erkennt man leicht nach der Methode der unendlich vielen Veränderlichen). Die so geglättete Minimalfolge konvergiert gegen eine Grenzfunktion \(u\), die das vorgelegte Variationsproblem löst. Durch geeignete Spezialisierung der \(v_i\) erhält man sodann in bekannter Weise die Lösung des Eigenwertproblemes der Gleichung \(\Delta u + \lambda u = 0\). – Sodann wird das Ritzsche Verfahren in folgender Weise präzisiert. Sei \(\omega_1, \omega_2, \omega_3,\ldots\) ein normiertes Orthogonalsystem für \(G\), das am Rande von \(G\) verschwindet, und sei \(A_{\mu,\nu} = D_G(\omega_\mu, \omega_\nu )\). Mit \(\lambda_i^{(n)}\) (\(i = 1, 2,\ldots, n\)) werden die Wurzeln der Gleichung \[ \begin{vmatrix} A_{11}-\lambda, & A_{12}, & \ldots, & A_{1n} \\ A_{12}, & A_{22}-\lambda, & \ldots, & A_{2n} \\ \hdotsfor{4} \\ A_{n1}, & A_{n2}, & \ldots, & A_{nn}-\lambda \end{vmatrix} = 0 \] (der Größe nach geordnet) bezeichnet, mit \(c_{k,i}^{(n)}\) \((k = 1,2,\ldots,n)\) paarweise orthogonale und normierte Lösungen der Gleichungen \(\sum\limits_{k=1}^nA_{jk}c_k=\lambda_i^{(n)}c_j\) und es wird gesetzt \(\varphi_i^{(n)}=\sum\limits_{k=1}^nc_{k,i}^{(n)}\omega_k\). Dann gilt: Ist \(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\ldots\) das vollständige System der nach der Größe geordneten Eigenwerte, \(u_1, u_2, u_3\ldots\) das entsprechende vollständige System der Eigenfunktionen unseres Problemes, so wird \(\displaystyle\lim_{n=\infty}\lambda_i^{(n)}=\lambda_i\); ferner wenn \(\lambda_i\) ein einfacher Eigenwert ist (bei geeigneter Vorzeichenwahl für \(\varphi_i^{(n)}\)), so ist \(\displaystyle\lim_{n=\infty}H_G(\varphi_i^{(n)}-u_i)=0\), \(\displaystyle\lim_{n=\infty}D_G(\varphi_i^{(n)}-u_i)=0\). Ist \(\lambda_i = \lambda_{i+1}=\cdots = \lambda_{i+s-1}\) ein \(s\)-facher Eigenwert, so gelten ebenfalls Gleichungen \(\displaystyle\lim_{n=\infty}H_G(\psi_j^{(n)}-u_j)=0\), \(\displaystyle\lim_{n=\infty}D_G(\psi_j^{(n)}-u_j)=0\) \((j=i, i+1,\ldots, i+s-1)\), wobei die \(\psi_j^{(n)}\) aus den \(\varphi_i^{(n)},\varphi_{i+1}^{(n)},\ldots,\varphi_{i+s-1}^{(n)}\) durch eine geeignete orthogonale Transformation hervorgehen. Durch eine geeignete Mittelbildung kann man übrigens noch von den Funktionen \(\varphi_i^{(n)}\) zu Funktionen übergehen, die selbst (nicht nur im Mittel) gegen die betreffenden Eigenfunktionen konvergieren. (IV 15.)
Reviewer: Hahn, Prof. (Wien)

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References:

[1] W. Ritz, Oeuvres Nr. XV, XVI, XVII, insbesondere Crelles Journal135 (1908), S. 1-61, Ann. der Phys.28 (1909), S. 737-786.
[2] Courant, Math. Zeitschr.7 (1920), S.1-57. ?Über die Eigenwerte bei den Differentialgleichungen der math. Physik?. · JFM 47.0455.02
[3] Die Voraussetzung der Rektifizierbarkeit ist wesentlich weiter als die Voraussetzungen, unter denen bisher die Frage in der Literatur explizite ihre Erledigung gefunden hat; der Leser wird übrigens bemerken, daß selbst diese Voraussetzung außer in § 6 für alle Schlüsse in dieser Arbeit bedeutungslos bleibt.
[4] Dieh-te der nach wachsender Größe geordneten Wurzeln von (14) ist gleich dem größten Werte, welchen das Minimum von (12) annehmen kann, wenn für diac i außer (11) nochh?1 lineare homogene Nebenbedingungen gestellt werden. Vgl. E. Fischer, Monatshefte für Math. und Phys.16, S. 245; Conrant, loc. cit. 2), S. 19.
[5] Die Voraussetzung der Ánalytizität ist nicht wesentlich; sie wird nur aus Bequemlichkeitsgründen gemacht.
[6] Stückweise stetig soll eine. Funktion inG heißen, wenn ihre Stetigkeit im Inneren vonG nur an endlich vielen analytischen Linienstücken Unterbrechungen erleiden darf. Es würde übrigens an den Betrachtungen der Arbeit nichts Indern, wenn wir durchweg Stetigkeit der Ableitungen von den Funktionen ? verlangten, da man ohne Schwierigkeit Funktionen mit nur stückweise stetigen Ableitungen derart durch solche mit durchweg stetigen approximieren kann, daß dabei die Bedingungen des Variationsproblemes unverletzt bleiben und auch der Charakter einer Funktionsfolge als Minimalfolge erhalten wird Vgl. loc. cit. 2), S. 52 ff.
[7] Die Möglichkeit einer solchen Approximation ergibt sich durch ganz analoge Betrachtungen wie die in Ann. 7) zitierten. Vgl. auch die Betrachtungen in Kap. IV, S. 323, wo die Überlegung durchgeführt wird.
[8] Normiert soll eine Funktion ? heißen, wennH[?]=1 ist.
[9] Vg. loc. cit. Per un canale di profondità finita, si arriva invece ad una equazione mista (cioè insieme differenziale e alle differenze finite). Cfr. ?Sulle onde progressive di tipo permanente?, Rend. della R. Acc. dei Lincei (5)16 (2{\(\deg\)} semestre, 1907),S. 33.
[10] Die Bezeichnungn i ist in dieser Arbeit so zu verstehen, daßn i irgendeine positive ganzzablige Funktion vonn ist.
[11] Die Bezeichnung Dimensionszahl soll auf die Analogie zu den Verhältnissen bei Folgen von Vektoren in einem endlich-viel-dimensionalen Raume hinweisen.
[12] Will man den Abbildungssatz aus der Theorie der konformen. Abbildung nicht benutzen, so schließt man am besten und ohne jede Schwierighkeit mit ganz ähnlieben Überlegungen, wie sie beim Beweise von Hilfssatz 3 verwendet werden. Eine Übertragung auf mehr unabhängige Variable macht dann keine neuen Schwierigkeiten.
[13] Durch bessere Ausnutzung der Beziehung (38) ließe sich das Resultat noch verschärfen, bzw. von der Voraussetzung der Rektifizierbarkeit der Randkurve befrsien; jedoch braucht hierauf nicht eingegangen zu werden.
[14] Die Bedingung (45) ist übrigens eine Folge der Bedingung (45a), wie sich leicht aus den vorangehenden Entwicklungen ergibt.
[15] Vgl. etwa Riemann-Weber, Partielle Differentialgleichungen der Physik. 2. Band, S. 282.
[16] Dies ergibt sich unmittelbar aus der GleichungJ(0)=1.
[17] Vgl. etwa loc. cit. Riemann-Weber, Partielle Differentialgleichungen der Physik. 2. Band, S. 280.
[18] Man könnte statt der Rechtecke ebensogut etwa Kreise betrachten und in den späteren Überlegungen zugrunde legen.
[19] Vgl. etwa Hadamard, Bull. Soc. math. France34 (1906), oder Courant, Journal f. Math.144 (1914), S. 190 ff.
[20] Die Möglichkeit, aus einer Folge von Stellen mit beschränkter Quadratsumme der Koordinaten eine ?konvergente Punktfolge? auszuwählen, bildet den Inhalt des ohne weiteres auf unseren Fall übertragbaren Weierstraßschen Häufungsstellensatzes. Vgl. die üblichen Darstellungen in der Theorie der quadratischen Funktionen von unendlich vielen Variablen.
[21] Vgl. Loc. cit. W. Ritz, Oeuvres Nr. XV, XVI, XVII, Insbesondere Crelles Journal 135 (1908).
[22] Man vergleiche zu diesem Satze eine schon am 15. 12. 1919 vorgelegte Note von M. Plancherel in den Comptes Rendus, wo ohne Beweis ein ganz analoges Resultat autgesprochen wird; die Formulierung bei Herrn Plancherel scheint mir übrigens im Falle mehrfucher Eigenwerte eine kleine Ungenauigkeit zu enthalten.
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