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Über die asymptotische Integration partieller Differentialgleichungen mit Parameter. 1. Mitteilung. (German) JFM 48.0576.01

Diese vergleicht die etwa durch ihre Werte längs der Charakteristiken \(x = x_0\), \(y=y_0\) bestimmte Lösung der hyperbolischen Differentialgleichung \[ \dfrac{\partial^2y}{\partial x\partial y} + \left(C(x,y)+\varrho^2\right)u = 0 \] mit der durch die gleichen Randbedingungen festgelegten Lösung von \[ \dfrac{\partial^2w}{\partial x\partial y} + \varrho^2w = 0; \] sind diese Randbedingungen so beschaffen, daß \(w\) in einem Rechteck bei beliebig wachsendem \(\varrho\) gleichmäßig beschränkt ist, so wird gezeigt, daß für große \(\varrho\) gleichmäßig \[ u(x,y) = w(x,y) + O(\varrho^{-1/3}). \] Der Beweis beruht auf der klassischen Riemannschen Darstellung der Funktionen \(u\), \(w\) durch Integrale über das Charakteristikenrechteck; durch ihre Vergleichung entsteht eine Volterrasche Integralgleichung zwischen \(u\), \(w\), deren Kern – die Riemannsche Funktion der Differentialgleichung – als eine Besselsche Funktion angebbar ist und bekanntes einfaches asymptotisches Verhalten in \(\varrho\) hat.

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References:

[1] Journal de Liouville2, S. 119. S. a. Birkhoff, ?On the asymptotic character of the solutions of certain linear differential equations containing a parameter.? Transakt. of Americ. Math. Soc.9 (1908) S. 219-231.?Hilb, ?Über Kleinsche Theoreme in der Theorie der linearen Differentialgleichungen?, II. Math. Ann.68 (1910), S. 24-74, § 3. ?Über Reihenentwicklungen nach den Eigenfunktionen linearer Differentialgleichungen 2. Ordnung.? Math. Ann.71 (1912), S. 76-87, § 3.? Kneser, ?Die Integralgleichungen und ihre Anwendungen in der math. Phys.?. Braunschweig (1911) § 24.?Blumenthal, ?Über asymptotische Integration linearer Differentialgleichungen mit Anwendung auf eine asymptotische Theorie der Kugelfunktionen?. Archiv f. Math. u. Phys.19 (1912), S. 136-174. ?Über asymptotische Integration von Differentialgleichungen mit Anwendung auf die Berechnung von Spannungen in Kugelschalen?. Proc. 5. Internat. Math. Congress2 (1913), S. 319-327.? Perron, ?Über die Abhängigkeit der Integrale eines Systems linearer Differentialgleichungen von einem Parameter?. I. II. III. Heidelb.-Ber. Math.-naturw. Kl. A. (1918). 13, 15; (1919), 6. Gewöhnliche Differentialgleichungen ohne Parameter, bei denenx selbst ins Unendliche wächst, sind asymptotisch integriert von Horn, ?Gewöhnliche Differentialgleichungen beliebiger Ordnung?. Leipzig 1905 (Sammlung Schubert50), VII. Absch. ?Über das Verhalten der Integrale linearer Differenzen- und Differentialgleichungen für große Werte der Veränderlichen?. J. f. Math.138 (1910); S. 159-191.?Sternberg, ?Über die asymptotische Integration linearer Differentialgleichungen. Math. Ann.81 (1920), S. 119-186. Vgl. ferner den Enzyklopädieartikel von Hilb, ?Lineare Differentialgleichungen im komplexen Gebiet?. II B. 5.
[2] Vgl. Schlesinger, Handbuch der linearen Differentialgleichungen1, S. 76, wo die ?Multiplikatoren? benutzt werden.
[3] Vgl. Sternberg, ?Über die asymptotische Integration einer partiellen linearen Differentialgleichung erster Ordnung mit variablem Parameter?. Heidelb. Ber. Math.-naturw. Kl. A (1920); 11. Die dort dargelegte Methode ist auf Gleichungen 1. Ordnung beschränkt, während die hier benutzte einen viel allgemeineren Anwendungsbereich hat. · JFM 47.0433.01
[4] Horn, l. c., ?Gewöhnliche Differentialgleichungen beliebiger Ordnung?. Leipzig 1905 (Sammlung Schubert50) § 32. · JFM 36.0377.01
[5] Horn, l. c., ?Gewöhnliche Differentialgleichungen beliebiger Ordnung?. Leipzig 1905 (Sammlung Schubert50) §§ 29 und 32. · JFM 36.0377.01
[6] Horn, l. c., ?Gewöhnliche Differentialgleichungen beliebiger Ordnung?. Leipzig 1905 (Sammlung Schubert50) § 33 Beispiel II. · JFM 36.0377.01
[7] Vgl. z. B.: Gray and Mathews, Treatise on Bessel Functions, S. 18.
[8] Horn, l. c., ?Gewöhnliche Differentialgleichungen beliebiger Ordnung?. Leipzig 1905 (Sammlung Schubert50) § 31. · JFM 36.0377.01
[9] Horn, l. c., ?Gewöhnliche Differentialgleichungen beliebiger Ordnung?. Leipzig 1905 (Sammlung Schubert50) § 32. · JFM 36.0377.01
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