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Über eine Verschärfung der isoperimetrischen Ungleichheit des Kreises in der Ebene und auf der Kugeloberfläche nebst einer Anwendung auf eine Minkowskische Ungleichheit für konvexe Körper. (German) JFM 48.0591.03

“Ist \(p\) der Umfang, \(f\) der Flächeninhalt einer ebenen Kurve, so besteht bekanntlich die Ungleichung \[ \frac{p^2}{4\pi} - f \geqq 0, \] wobei das Gleichheitszeichen nur für den Kreis gilt. Bei dem Versuch, diese Ungleichung mit elementargeometrischen Mitteln zu beweisen, gelangte ich zu folgender verschärften Ungleichung \[ \frac{p^2}{4\pi} - f \geqq \frac{\pi}{4} (R - r)^2, \] wo \(R\) den Radius des kleinsten die Kurve enthaltenden Kreises, \(r\) den Radius des größten der Kurve einschreibbaren Kreises bedeutet, und wo das Gleichheitszeichen wiederum nur für den Kreis gilt. Nach dem Beweise dieser isoperimetrischen Ungleichheit wird die analoge Ungleichheit auf der Kugel abgeleitet, und mit Hilfe der gewonnenen Resultate beweise ich dann die von Minkowski entdeckte Ungleichheit für konvexe Körper \[ \frac{k^2}{4\pi} - o \geqq 0, \] two \(o\) die Oberfläche und \(k\) das unten näher bezeichnete Konturintegral des Körpers bedeutet.”

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References:

[1] Comptes rendus172 (1921), S. 1087-89. ? Matematisk Tidsskrift, Köbenhavn, 1921, S. 1-13, 48-51.
[2] A. Cauchy, Note sur divers théorèmes relatifs à la rectification des courbes et à la quadrature des surfaces. Comptes rendus13 (1841), S. 1060-65.
[3] Über parallele Flächen. Sitzber. Ak. Berlin 1840, S. 114-118.
[4] H. Minkowski, Über die Begriffe Länge, Oberfläche und Volumen. Jahresbericht der Deutschen Mathematikervereinigung9, S. 115-121. Ges. Abh.2, S. 122-127. Volumen und Oberfläche. Math. Ann.57. Ges. Abh. 2, S. 230-276, besonders S. 259. · JFM 32.0300.02
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