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The Cambridge Colloquium 1916. Part II: Analysis Situs. (English) JFM 48.0647.10

Colloquium Publications. American Mathematical Society 5, Part II. New York: American Mathematical Society. VII u. 150 S. \(8^0\) (1922).
In der Zeit seit ihrem Erscheinen haben diese in Buchform herausgegebenen Vorlesungen ihren Zweck, in die Problemstellungen der Analysis Situs \(n\)-dimensionaler Mannigfaltigkeiten einzuführen, bereits in weitgehendem Maße gedient. Nicht die punktmengentheoretischen Fragestellungen sind es, die hier behandelt werden, sondern diejenigen Fragen, die sich an den Aufbau einer \(n\)-dimensionalen Mannigfaltigkeit \(M_n\) aus Zellen anschließen und das topologischinvariante aus den Zellaufbauten herauszuholen suchen. Dementsprechend treten die den einzelnen Zellaufbau kombinatorisch beschreibenden Mittel (gewisse Matrizen) in den Vordergrund. Das kombinatorische Gerüst der Zellaufbauten erscheint aber nicht, wie in der rein kombinatorischen Topologie (vgl. die Darstellung im Encykl.-Artikel Dehn-Heegaard), als selbständiges Objekt, losgelöst von der Betrachtung kontinuierlicher Mannigfaltigkeiten, sondern behält seinen Charakter als Mittel zur Beschreibung dieser letzteren. Die am Zellaufbau einer \(M_n\) vorgenommenen Änderungen, die durch endliche Unterteilungen und inverse Prozesse erhalten werden, erschöpfen bekanntlich nicht die komplizierten Zerlegungen (in unendlich viele, verwickelte Teile), die bei Überlagerung zweier beliebiger Zellteilungen der \(M_n\) entstehen können; die daraus resultierende Frage, ob die Invarianten der Zellsysteme gegenüber endlichen Unterteilungen auch wirklich topologische Invarianten der kontinuierlichen \(M_n\) sind, wird durch den Hinweis auf die einschlägige Arbeit von Alexander (American M S. Trans. 16, 148, 1915) erledigt.
Zur Darstellung des Zellaufbaues eines \(n\)-dimensionalen Komplexes oder einer \(n\)-dimensionalen Mannigfaltigkeit werden nicht sogleich die Koeffizientenmatrizen der von Poincaré betrachteten und als “Kongruenzen” bezeichneten Berandungsrelationen zwischen den Zellen \(k\)-ter und \((k - 1)\)-ter Dimension herangezogen \((k = 1, 2,..., n)\), sondern andere ganzzahlige Matrizen \(H_k\) für \(k =1, \ldots, n\) (zuerst eingeführt in der Arbeit von Veblen und Alexander, Annals of Math. (2) 14; F. d. M. 44, 558 (JFM 44.0558.*), 1913), deren Elemente nur mod. 2 in Betracht kommen und die gleichfalls (bei hinlänglich enger Zellteilung, so daß keine an sich selbst anstoßenden Zellen auftreten) die \(M_n\) vollständig zu beschreiben gestatten; sie sind in gewissem Sinne dadurch einfacher, daß eine Orientierung der Zellen (und deren Beachtung bei den Berandungsbeziehungen zwischen \(k\)-dimensionalen und \((k - 1)\)-dimensionalen Zellen) noch keine Rolle spielt. Eine gewisse Abrundung wird erreicht durch Einführung einer weiteren Matrix \(H_0\), die die Verteilung der 0-dimensionalen Zellen auf die zusammenhängenden Bestandteile der \(M_n\) angibt. Das Gesetz für die Matrixprodukte: \(H_{k-1} \cdot H_k = 0\) gilt dann auch für \(k = 1\). Aus den Matrizen \(H_k\) werden die von Veblen und Alexander l. c. eingeführten, den Bettischen Zahlen \(P_i\) analogen Zusammenhangszahlen \(R_i\) gewonnen und ihre Theorie entwickelt. – Nach Einführung des Begriffs der orientierten Zelle wird dann zur parallelen Darstellung der Poincaréschen Theorie übergegangen (Bettische Zahlen, Torsionszahlen, Homologien), wobei nun in den auftretenden Matrizen die Elemente nicht mehr bloß mod. 2 zu betrachten sind.
Der Darstellung für eine allgemeine Dimensionszahl \(n\) (in Kap. 3, 4) sind zur Einführung in die Begriffsbildungen die Fälle \(n = 1\), und \(n = 2\) vorangestellt (Kap. l und 2), während in Kap. 5 eine Reihe weiterer Begriffe und Problemstellungen (Homotopie und Isotopie, Fundamentalgruppe, Gruppenmatrix, Überlagerungsmannigfaltigkeit u. a. m.) kurz besprochen und zahlreiche Hinweise auf neuere Literatur gegeben werden. Das Buch wird gewiß das Interesse an der Topologie weiter fördern mit der werbenden Kraft, die sein Autor dafür bereits durch seinen persönlichen Unterricht wie durch seine einschlägigen Arbeiten erfolgreich entwickelt hat.

Citations:

JFM 44.0558.*