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Concerning connectedness im kleinen and a related property. (English) JFM 48.0659.03

American M. S. Bull. 28, 9 (1922); Fundamenta math. 3, 232-237 (1922).
Sierpiński (Fundamenta math. 1, 44, 1920) hat für beschränkte Kontinua \(C\) den Zusammenhang im kleinen durch folgende (für \(C\)) gleichwertige Eigenschaft ersetzt: Wenn ein beliebiges positives \(\varepsilon\) gegeben ist, soll sich \(C\) als Vereinigungsmenge von endlich vielen Kontinuen, deren Durchmesser kleiner als \(\varepsilon\) sind, darstellen lassen. Diese Eigenschaft wird hier für beliebige Mengen \(M\) statt \(C\) verallgemeinert, indem die endlich vielen Kontinua durch endlich viele lückenlos zusammenhängende Mengen ersetzt werden: “Eigenschaft \(S\)”. Diese Eigenschaft \(S\) ist, wie gezeigt wird, enger als die Eigenschaft “zusammenhängend im kleinen”, aber weiter als die Eigenschaft “gleichmäßig zusammenhängend im kleinen”. Der Verf. hat früher (Nat. Acad. Proc. 4, 364; F. d. M. 46, 1451 (JFM 46.1451.*), 1916-18) gezeigt: Damit ein beschränktes, einfach zusammenhängendes Gebiet \(\mathfrak G\) das Innere einer geschlossenen Jordanschen Kurve sei, ist notwendig und hinreichend, daß \(\mathfrak G\) gleichmäßig zusammenhängend im kleinen ist. Jetzt beweist er den Satz: Damit \(\mathfrak G\) von einer stetigen Kurve begrenzt sei, ist notwendig und hinreichend, daß \(\mathfrak G\) die Eigenschaft \(S\) besitzt. (III.)

Citations:

JFM 46.1451.*
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Full Text: EuDML