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Concerning continuous curves in the plane. (English) JFM 48.0660.01

Es handelt sich um eine Verallgemeinerung des von R. L. Moore (später auch von Tietze und Mazurkiewicz; vgl. F. d. M. 47, 520 (JFM 47.0520.*), 1919-20) bewiesenen Satzes, daß jede stetige Kurve (Moore beschränkt sich auf Kurven in der Ebene) zu zwei beliebigen ihrer Punkte einen sie verbindenden einfachen stetigen Kurvenbogen als Teilmenge enthält. “Zusammenhängend im schwachen Sinn” wird eine Punktmenge \(M\) genannt, die zusammenhängend im Sinne von Lennes, d. h. nicht in zwei Teilmengen zerlegbar ist, von denen keine einen Häufungspunkt der anderen enthält; “zusammenhängend im starken Sinn” aber dann, wenn es zu je zweien ihrer Punkte eine sie enthaltende, im schwachen Sinn zusammenhängende, abgeschlossene Teilmenge von \(M\) gibt. (Es sei gestattet, darauf hinzuweisen, daß diese letztere Eigenschaft eine Eigenschaft von \(M\) relativ zur umfassenden Ebene ist, “zusammenhängend im schwachen Sinn” aber eine absolute, dem topologischen Raum \(M\) für sich selbst zukommende Eigenschaft.) Offen bezüglich \(M\) wird eine Teilmenge \(K\) von \(M\) genannt, wenn \(M-K\) abgeschlossen (oder leer) ist. Beschränkte, (im schwachen Sinn) zusammenhängende und (im üblichen Sinn) offene Punktmengen mögen im folgenden Referat kurz “Bereiche \(R\)” heißen. Es werden die Sätze gezeigt: Eine im schwachen Sinn zusammenhängende offene Teilmenge einer stetigen Kurve \(M\) ist es auch im starken Sinn; wenn \(K\) offene Teilmenge von \(M\) ist und es sind \(A\), \(B\) zwei Punkte einer im schwachen Sinn zusammenhängenden Teilmenge von \(K\), so kann \(A\) mit \(B\) durch einen Jordanbogen in \(K\) verbunden werden. – Ein Bereich \(R\) ist einfach-zusammenhängend (d. h. enthält das Innere jeder zu \(R\) gehörenden Jordankurve), dann und nur dann, wenn sein Rand zusammenhängend ist. – Der äußere Rand eines Bereiches \(R=R_0\) ist der volle Rand eines \(R_0\) enthaltenden Bereiches \(R = R_1\). – Ist der Rand eines Bereiches \(R\) eine stetige Kurve, so ist sein äußerer Rand eine Jordankurve. – Zu zwei durch eine stetige Kurve \(\beta\) voneinander getrennten Punkten der Ebene gibt es eine sie trennende, in \(\beta\) enthaltene Jordankurve. (III.)

Citations:

JFM 47.0520.*
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References:

[1] R. L. Moore, A theorem concerning continuous curves, Bull. Amer. Math. Soc., 2d. series,23 (Febr. 1917), S. 233?236. See also H. Tietze, Über stetige Kurven, Jordansche Kurvenbögen und geschlossene Jordansche Kurven, Math. Zeitschr.5 (1919), S. 284?291; and S. Mazurkiewicz, Sur les lignes de Jordan, Fundamenta Mathematicae1 (1920), S. 166?209. In this article, Mazurkiewicz establishes numerous results and indicates that some of them were published earlier in a journal (C. R. Soc. Sc. Varsovie) to which I do not at present have access.
[2] N. J. Lennes, Curves in non-metrical analysis situs with an application in the calculus of variations, American Journal of Mathematics33, (1911), S. 287?326. · JFM 42.0399.01
[3] A point is said to be a limit point of a point-setM if every circle which enclosesP encloses at least one point ofM distinct fromP.
[4] Obviously every point-set which is connected in the strong sense is also connected in the weak sense and a closed point-set which is connected in the weak sense is also connected in the strong sense. It is accordingly allowable to speak of a ?closed, connected point-set? without specifying in which sense the term connected is used.
[5] Cf Hans Hahn and S. Mazurkiewicz, loc. cit. Obviously every point-set which is connected in the strong sense is also connected in the weak sense and a closed point-set which is connected in the weak sense is also connected in the strong sense. It is accordingly allowable to speak of a ?closed, connected point-set? without specifying in which sense the term connected is used.
[6] Transactions of the American Mathematical Society17 (1916), S. 131?164. This paper will be referred to as F. A.
[7] Hereafter in this paper a set of points will be said to be connected if it is connected in the weak sense.
[8] Cf. F. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre, Veit and Co., Leipzig 1914, S. 344, VII.
[9] A. Schoenflies, Die Entwickelung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten. Zweiter Teil, Leipzig 1908, S. 237. · JFM 39.0095.16
[10] Über den Rand der einfach zusammenhängenden ebenen Gebiete. Math. Zeitschr.9 (1921), S. 64 (73). · JFM 48.0653.01
[11] The point-set ?-A O B certainly exists. For otherwise the simple continuous areA O B would be the complete boundary of a limited domain, which is clearly impossible.
[12] See my paper Concerning simple continuous curves, Transactions of the American Mathematical Society,21 (1920), S. 342.
[13] Two pointsA andB are said to be separated from each other by the closed point-setM if every simple continuous arc fromA toB contains a point ofM distinct fromA and fromB.
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