×

Concerning certain equicontinuous systems of curves. (English) JFM 48.0661.01

Es handelt sich um die Frage, wie unter den Systemen \(G\) von offenen Kurven, die eine Ebene einfach und lückenlos überdecken (durch jeden Punkt geht genau eine Kurve) diejenigen zu charakterisieren sind, die vom Standpunkt der Analysis Situs einem System paralleler Geraden äquivalent, d. h. durch eine topologische Abbildung in dieses überführbar sind. Im Anschluß an Ascoli (Rom. Acc. L. Mem. 18, 521, 1884) wird ein System \(G\) als gleichstetig (equicontinuous) bezeichnet, wenn es zu jedem \(\varepsilon > 0\) ein (für alle Kurven \(g\) von \(G\) brauchbares) \(\delta_\varepsilon\) gibt, so daß auf jeder Kurve \(g\) irgend zwei Punkte \(P_1\), \(P_2\) in einem Abstand \(<\delta_\varepsilon\) stets einen Bogen von \(g\) begrenzen, der ganz in einem Kreis vom Radius \(\varepsilon\) liegt. Nun wird, wenn das gleiche wenigstens allemal dann gilt, falls \(P_1\) und \(P_2\) einer bestimmten Menge \(M\) angehören, das System \(G\) “gleichstetig bezüglich M” genannt; und es heißt “invers-gleichstetig bezüglich \(M\)”, wenn für jedes \(\delta>0\) für zwei auf einer Kurve \(g\) von \(G\) liegende Punkte von \(M\) der von ihnen begrenzte Bogen von \(g\) ganz in einem Kreis liegt, dessen Radius unter einer nur von \(\delta\), nicht aber von \(g\) abhängigen Schranke liegt. Die Antwort auf obige Frage lautet dann: \(G\) muß (notwendiger- und hinreichenderweise) sowohl gleichstetig als inversgleichstetig sein bezüglich jeder abgeschlossenen Punktmenge \(M\). Im Zusammenhang damit werden verwandte Fragen erörtert, bei denen an Stelle eines Systems paralleler Geraden ein System (ein Rechteck ausfüllender) paralleler Strecken, oder ein System von Halbstrahlen aus einem Punkt, oder ein System konzentrischer Kreise tritt.
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI