×

zbMATH — the first resource for mathematics

Principles of geometry. I. Foundations. II. Plane geometry: Conics, circles, non-Euclidean geometry. III. Solid geometry: Quadrics, cubic curves in space, cubic surfaces. IV. Higher geometry: Being illustrations of the utility of the consideration of higher spaces, especially of four and five dimensions. (English) JFM 48.0686.01
Cambridge: Cambridge University Press. I: xi, 182 p. (1922); II: xv, 234 p. (1922); III: xix, 228 p. (1923); IV: xvi, 250 p. (1925).
Das vorliegende Werk bietet eine in der Hauptsache synthetische Behandlung der projektiven Geometrie und Metrik, wobei besonderer Nachdruck auf das Studium gewisser Typen von algebraischen Kurven und Flächen gelegt ist.
Band I, Kap. I, “abstrakte Geometrie”, bringt die Grundlagen der projektiven Geometrie in weitgehender kritischer Betrachtung. Es kommen zuerst die Postulate der Inzidenz von Punkten, Geraden und Ebenen, dann - in üblicher Weise – die Theorie der harmonischen Punkte und der Perspektivitäten. Dann wird, um beweisen zu können, daß die eineindeutige, harmonische Punktquadrupel harmonisch lassende Beziehung zwischen zwei Punktreihen eindeutig bestimmt ist durch drei Paare entsprechender Punkte, der Satz des Pappus postuliert und mit (dazu) äquivalenten Postulaten verglichen. Dann werden algebraische Symbole (hauptsächlich Koordinaten) eingeführt, im wesentlichen nach der von Möbius in seinem barycentrischen Calcul benutzten Methode, und gezeigt, daß die Postulierung des Satzes von Pappus darauf hinausläuft, den algebraischen Symbolen das Kommutativgesetz der Multiplikation aufzuerlegen.
Kap. II, “reale Geometrie”, behandelt die Begriffe des “erreichbaren” und des “unerreichbaren” Punktes, gegründet auf Zwischenheits-Axiome, und führt gegebenenfalls zu einer Geometrie gemäß Kap. I.
Kap. III betrachtet imaginäre Elemente im Sinne v. Staudts.
Band II bringt erschöpfend die Theorie der Kegelschnitte, hauptsächlich nach synthetischen Methoden, sowie die Euklidische und Nicht-Euklidische Metrik.
Band III bietet das Entsprechende für Flächen zweiter Ordnung, jedoch treten jetzt die analytischen Methoden in den Vordergrund. Darauf werden die Raumkurven und Flächen dritter Ordnung im einzelnen studiert.
Band IV bildet den Höhepunkt des Werkes; er ist zuerst entstanden, und hauptsächlich ihm zuliebe sind die anderen Bände geschrieben. Sein Hauptzweck ist, die Theorie “fast aller üblichen Flächen der dreidimensionalen Geometrie, sowie die Liniengeometrie” unter einem umfassenden Gesichtspunkt zusammenzufassen. Dieser Band wird zusammen mit der übrigen Literatur des Jahres 1925 besprochen werden.

MSC:
14-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to algebraic geometry