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Il principio di degenerazione e la geometria sopra le curve algebriche. (Italian) JFM 48.0728.02
Der Verf. betrachtet eine ebene algebraische Kurve \(f\) vom Geschlecht \(p\) mit allgemeinen Moduln und unterwirft sie einer stetigen Veränderung derart, daß sie \(p\) neue Doppelpunkte erwirbt und somit rational wird. Dann spiegelt sich die Geometrie auf der Kurve vom Geschlecht \(p\) mit allgemeinen Moduln gewissermaßen wieder in der Theorie der linearen Scharen auf der Geraden, und es wird nun gezeigt, wie man aus der letzteren die grundlegenden Sätze der Geometrie auf einer algebraischen Kurve von beliebigem Geschlecht \(p\) gewinnen kann. Das Verfahren hat im Grunde nur heuristischen Wert; aber bei der Überführung einer Kurve vom Geschlecht \(p\) in eine Gerade oder in eine Kurve, deren Geschlecht kleiner als \(p\) ist, ergibt sich die Möglichkeit, einige sehr heikle Fragen der allgemeinen Theorie der algebraischen Funktionen, die bisher mit Hilfe der algebraisch-geometrischen Methoden noch nicht genügend genau behandelt waren, in aller Strenge zu erledigen. Insbesondere ergibt sich ein geometrischer Beweis des Hurwitzschen Satzes, daß die Korrespondenzen, die Kurven mit allgemeinen Moduln angehören, stets Wertigkeitskorrespondenzen sind. Die Arbeit enthält in gedrängter Kürze überaus fruchtbare Gesichtspunkte, die im wesentlichen aus dem Stetigkeitsprinzip entspringen; sie entstammt dem Gedankenkreis des mittlerweile (1924) erschienenen dritten Bandes der “Lezioni sulla teoria geometrica delle equazioni e delle funzioni algebriche”, die der Verf. zusammen mit O. Chisini bei Zanichelli (Bologna) veröffentlicht hatte. (Die beiden ersten Bände sind in den F. d. M. 46, 941-944, 1916-18 besprochen worden.)
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References:
[1] Bologna, Zanichelli.
[2] Cfr. l’ Anhang F alle ?Vorlesungen über algebraische Geometrie? di F. Severi (Leipzig, Teubner, 1921, pg. 247).
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