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Déformation du paraboloide de révolution: cubique de M. Lyon et congruences de M. Thybaut. (French) JFM 48.0817.04
In diesen beiden Abhandlungen gibt der Verf. eine ausführliche monographische Untersuchung des bekannten und oft behandelten Problems der Verbiegung des Umdrehungsparaboloids, eine Aufgabe, die wohl grundsätzlich und allgemein zuerst von Darboux gelöst worden ist. In der ersten Arbeit leitet der Verf. zunächst die Ergebnisse Darboux’ auf einem fast elementaren Wege ab, der jedenfalls keinerlei Vorkenntnisse aus der allgemeinen Biegungstheorie erfordert und überdies verschiedene bemerkenswerte Einzelheiten heraushebt, die sich auf die Realitätsbedingungen der aufeinander abwickelbaren Flächenpaare beziehen, von denen hier die Rede ist. Die Untersuchung bezieht sich sodann auf die reellen algebraischen Biegungsflächen des Umdrehungsparaboloids und die Bestimmung derjenigen unter ihnen, die einen Mittelpunkt oder eine Symmetrieebene oder eine Symmetrieachse oder auch eine Drehachse besitzen.
Die Bestimmung der reellen Biegungsflächen des Umdrehungsparaboloids hängt aufs engste zusammen mit der Bestimmung aller Raumkurven konstanter Windung und dadurch mit der Theorie der Flächen konstanten Krümmungsmaßes, deren Asymptotenlinien bekanntlich konstante Windung besitzen (auf Grund der Enneperschen Formel). Schließlich reicht noch die Theorie der Minimalflächen in das hier betrachtete Problemgebiet hinein, besonders der Minimalflächen, die einer Kugel umgeschrieben sind.
Die einfachste Raumkurve konstanter Windung ist die kubische Raumkurve von Lyon. Auf die hiermit zusammenhängenden Biegungsflächen des Drehparaboloids bezieht sich der erste Teil der zweiten Abhandlung, während der zweite Teil ein genaueres Studium der Thybautschen Ergebnisse darstellt. Thybaut hatte schon vor 25 Jahren gezeigt, daß das Problem der Bestimmung aller Flächen, die sich auf das Umdrehungsparaboloid abwickeln lassen, gleichwertig ist mit der Aufgabe, zwei Minimalflächen zu bestimmen, die sich als Brennflächen eines Strahlensystems mit Erhaltung der Asymptotenlinien und der Minimallinien entsprechen.

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Full Text: DOI Numdam EuDML