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Über Krümmungseigenschaften einer \(m\)-dimensionalen Mannigfaltigkeit, die in einer \(n\)-dimensionalen Mannigfaltigkeit mit beliebiger quadratischer Maßbestimmung eingebettet ist. (German) JFM 48.0859.01
Die Krümmung einer \(m\)-dimensionalen Mannigfaltigkeit, die in einer \(n\)-dimensionalen Mannigfaltigkeit mit beliebiger quadratischer Maßbestimmung eingebettet ist, kann charakterisiert werden durch eine Größe dritten Grades \(H_{\lambda\mu}^{\cdot\cdot\nu}\) mit \(\frac12nm(m+1)\) Bestimmungszahlen. Die wichtigsten Eigenschaften, die sich mit Hilfe dieser Größe und ohne Verwendung der Riemann-Christoffelschen Krümmungsgröße vierten Grades der beiden Mannigfaltigkeiten formulieren lassen, werden angegeben. Als Beispiel sind zum Schluß die Fälle \(m=2\) und \(m=3\) behandelt. Das Krümmungsgebilde einer \(V_3\) in \(V_n\) ist eine Steinersche Fläche.
Die Rechnungen sind in der von Schouten entwickelten Affinoranalysis entwickelt worden. Die Resultate sind verarbeitet in D. J. Struik, Grundzüge der mehrdimensionalen Differentialgeometrie (Springer, Berlin, 1922; vgl. das Referat S. 841).

MSC:
53-XX Differential geometry
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References:
[1] J. A. Schouten undD. J. Struik,Ueber das Theorem von Malus-Dupin uni einige ver-wandte Theoreme in einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit mit beliebiger quadratischer Massbestimmung [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, t. XLV (1921), S. 313–351];J. A. Schouten,Ueber die konforme Abbildung n-dimensionaler Mannigfaltigkeiten mit quadratischer Massbestimmung auf eine Mannigfaltigkeit mit euklidischer Massbestimmung [Mathematische Zeitschrift, Bd. XI (1921), S. 58–88];D. J. Struik,Grundzüge der mehrdimensionalen Differentialgeometrie (Berlin, J. Springer, 1922). · JFM 48.0858.03 · doi:10.1007/BF03018145
[2] Ricci nennt diesen Vektor “curvatura geodetica”.G. Ricci,Dei sistemi di congruenze orlogonali in una varietà qualunque [Atti della R. Accademia dei Lincei, serie V, Memorie, vol II (1895), S. 276–322], S. 298. Vgl. auchJ. E. Wright,Invariants of quadratic differential forms, Cambridge Tracts N. 9, S. 78.
[3] A. Voss,Zur Theorie der Transformation quadratischer Differentialausdrücke und der Krümmung höherer Mannigfaltigkeiten [Mathematische Annalen, Bd. XVI (1880), S. 129–178], S. 135 (V m inV n ), mitb \(\alpha\)|rs beiG. Ricci,Sulle superficie geodetiche in una varietà qualunque e in particolare nelle varietà a tre dimensioni [Rendiconti della Reale Accademia dei Lincei, Serie V, vol. XII, 1semestre 1903, S. 409–420] (V m inV n ) und mit k (r< fg beiH. Kühne,Ueber die Krümmung einer beliebigen Mannigfaltigkeit [Archiv der Mathematik und Physik, 3. Reihe, vol. VI (1904), S. 251–260], (V m inV n ). · JFM 12.0570.02 · doi:10.1007/BF01446384
[4] K. Kommerell,Die Krümmung der zweidimensionalen Gebilde im ebenen Raum von vier Dimensionen [Dissertation Tübingen 1897], S. 17 (V 2 inR 4);E. E. Levi,Saggio sulla teoria delle superficie a due dimensioni immerse in un iperspazio [Annali della R. Scuola normale superiore di Pisa, Scienze fisiche e matematiche, vol. X (1908), N. 2] S. 46 (V 2 inR n ).
[5] Vergl. Schouten, l. c. 1), S. 71.
[6] Voss, l. c. 3), S. 151.
[7] Für den Beweis vergl. unsere Arbeit:Over n-voudig orthogonale stelsels van (n 1)-dimensionale uitgehreidheden in een algemeene uitgebreidheid van n afmetingen [Verslagen Koninklijke Akademie van Wetenschappen, Amsterdam, Bd. XXVIII (1919), S. 201–212, 452–463, englisch: Proceedings Bd. XXII (1919), S. 596–605, 684–695], oderStruik, l. c. 1), Abschn. II.
[8] Ricci, l. c. 3), fürV m inV n .
[9] Vgl.Levi, l. c. 5), S. 70, fürV 2 inR n .
[10] Zuerst bewiesen fürV m inV n durchR. Lipschitz,Ausdehnung der Theorie der Minimalflächen [Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 78 (1874), pp. 1–45], S. 31, weiter hat u. a.W. Killing,Die nicht-euklidischen Raumformen in analytischer Behandlung [Leipzig, Teubner (1885)], S. 246 den Satz aufgestellt fürV m inS n , Kühne, l. c. 3), S. 260 hat einen Beweis gegeben fürV m inR n , undLevi, l. c. 5), S. 91, fürV 2 inR n .
[11] P. Del Pezzo,Sugli spazii tangenti ad una superficie o ad una varietà immer sa in uno spazio di pill dimensioni [Rendiconti della R. Accademia delle Scienze fisiche e matematiche di Napoli, vol. XXV (1886;, S. 176–180] (V m inR n ).Levi, l. c. 5), S. 60 (V 2 inR n ). · JFM 18.0450.01
[12] Levi, l. c. 5), S. 70, fürV 2 inR n .
[13] Vgl. u.a.L. Kronecker,Ueber Systeme Von Functionen mehrer Variabein [Monatsberichte der königlich preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1869, S. 159–193, 688–698], S. 692 (V n inR n ); Voss, l. c. 3), S. 150 (V n inV n )Levi, l. c. 5), S. 67 (V 2 inR 2).
[14] l. c. 5), § 6, § 11.
[15] Vgl.Levi, l. c. 5) Fussnote S. 68.
[16] l c. 3). · JFM 12.0570.02 · doi:10.1007/BF01446384
[17] Killing, l. c. 12), S. 245 für D,V m inV m inS n ;L. Berzolari,Sulla curvatura delle varietà tracciate sopra una varietà qualunque [Atti della R. Accademia delle Scienze di Torino, vol. XXXIII (1898), S. 692–700, 759–778] fürD, 174–01 in 174–02 inS n . · JFM 29.0556.02
[18] Berzolari, l. c. 19) fürD, 174–03 in 174–04 inS n . Für den Beweis vergl.Struik, l. c. 1).
[19] Kommerell, l. c. 5), S. 32,V 2 inR 4.
[20] Kommerell, l. c. 5) s. 32,V 2 inR 4;Berzolari, l. c. 19), S. 696, nennt fürV m inS n die durch die tangierendeS m und D bestimmteS m+1 “spazio osculatore” und D die “Krümmung” derV m .Berzolari betrachtet nicht die Krümmungen einerV m in bezug auf eineV m+q durchV m , sondern er projektiertV m auf eineS m+q durch die tangierendeSm und betrachtet dann die Krümmungen dieser Projektion.
[21] FürV 2 inR 4 rührt dieses Theorem vonSegre her:C. Segre,Su una classe di superficie degli iperspazi legate colle equazioni lineari alle derivate parziali di 2ordine [Atti della R. Accademia delle Scienze di Torino, vol. XLII (1907), S. 559–591]. S. 571.
[22] In der Tat berechnet sich leicht: Vergl. l. c. 9), S. 208, englisch S. 601 undL. Bianchi.Vorlesungen über Differentialgeometrie, autorisierte deutsche übersetzung vonMax Lukat, 1e Auflage [Leipzig, Teubner, 1899], S. 601.
[23] Kronecker, l. c. 15),V n inR n .
[24] Kronecker, l. c. 15),V n inR n .
[25] Kommerell, l. c. 5) (V 2 inR 4) ;M. Servant,Sur une extension des formules de Gauss [Bulletin de la Société Mathématique de France, vol. 30 (1902), S. 92–100] (V 2 inR 4;Levi, l. c. 5), p. 60 (V 2 inR n ); C. L. E. Moore,Note on normal sections of a surface in a space of n dimensions [Annals of Mathematics of Princeton University, Serie 2, vol. 16 (1914–1915), S, 89–96] S. 95 (V 2 inR n ).
[26] Kommerell, l. c. 5), S. 21 (V 2 inR 4),Levi, l. c. 5), pag. 66 (V 2 inR n ).
[27] V 2 inR n mit lauter planaren Punkten sind untersucht vonSegre, l. c. 25) und vonLevi, l. c. 5).Segre spricht von “Flächen \(\phi\)”.
[28] Segre, l. c. 25), S. 576 nennt die von diesen Kurven gebildeten Kurven dieCharakteristiken derV 2.
[29] Levi nennt einen Punkt, wo dies zutrifft,parabolisch, l. c. 5), S. 63 (V 2 inR n );Kommerell, l. c. 5), nennt die konjugierten Richtungen (ineinerV 2 inR 4)asymptotisch. Vgl. dazuLevi, l. c. 5), Fussnote S. 68.
[30] Servant, l. c. 29), S. 99 (V 2 inR 4) ;Levi, l. c. 5), S. 82 (V 2 inR n ).
[31] L. P. Eisenhart,Minimal surfaces in Euclidean four-space [American Journal of Mathematics, vol. 34 (1912), S. 215–236];Kwietniewski undKommerell hatten schon bewiesen, dasz diese Bedingung notwendig ist:Stefan Kwietniewski,Ueber Flächen des vierdimensionalen Raumes, deren sämtliche Tangentialebenen untereinander gleichwinklig sind, und ihre Beziehung zu den ebenen Kurven (Dissertation Zürich, 1902), S. 47. Vgl. auchLevi, l. c. 5), Fussnote S. 91 ;K. Kommerell,RiemannscheFlächen im ebenen Raum von vier Dimensionen [Programm des Karlsgymnasiums Heilbronn N. 707, auch Mathematische Annalen, Bd. 60 (1905), S. 546–596] S. 35 und S. 580. · JFM 43.0732.01 · doi:10.2307/2370220
[32] In der Geometrie der Kegelschnitte korrespondieren diese Linearformen mit den Diagonalen desCliffordschen selbstkonjugierten vollständigen Vierseits des durch vier Kegelschnitte bestimmten Systems, vergl. Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften III C 1 [F. Dingeldey,Kegelschnitte und Kegelschnittsysteme, S. 1–160], S. 147.
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