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Zur Prandtlschen Tragflächentheorie. (German) JFM 48.0971.01
Bekanntlich geht Prandtl bei der Bestimmung von Auftrieb und Widerstand einer Tragfläche davon aus, die Tragfläche durch einen geraden, nach beiden Richtungen unendlich langen Wirbelfaden zu ersetzen. Ist die Spannweite endlich, so muß er von den Flügelspitzen aus den Wirbelfaden je in der Richtung der Grundströmung ins Unendliche fortlaufen lassen. Diese etwas zu primitive Auffassung hat er dann dahin vervollkommnet, daß er nicht nur von den Enden der Tragfläche, sondern von allen Punkten der Hinterkante aus Wirbellinien geeigneter Stärke in der Richtung der Grundströmung ins Unendliche laufen läßt, so daß längs der Tragfläche die Zirkulation eine Funktion des Ortes wird. Um sie für ein gegebenes Profil zu bestimmen, hat man zu beachten, daß das Wirbelband eine Strömung erzeugt, die sich der Grundströmung überlagert. Die senkrecht nach unten gerichtete Komponente dieser Strömung bewirkt an der Tragfläche eine Änderung des wirksamen Anstellwinkels, während durch ihn umgekehrt die Stärke der Zirkulation bedingt ist, so daß man einen Ansatz zur Bestimmung der Verteilung der Zirkulation längs der Tragfläche gewinnt.
Für die Durchführung dieser Bestimmung zeigt der Verf. nun folgenden neuen Weg: In hinreichend großer Entfernung hinter der Tragfläche ist die überlagerte Strömung eine ebene Potentialströmung, die in den Ebenen senkrecht zur Grundströmung verläuft. Denkt man eine solche Ebene längs der Strecke, in der sie von dem Wirbelbande durchsetzt wird, aufgeschlitzt, so unterscheiden sich die Werte des Geschwindigkeitspotentials an gegenüberliegenden Stellen des Schlitzes gerade um den Betrag der Zirkulation, die an der entsprechenden Stelle der Tragfläche herrscht. Ferner ist in einer solchen Ebene die senkrecht nach unten (also senkrecht zu der Richtung des Schlitzes) gerichtete Komponente der Strömung gerade doppelt so groß wie die entsprechende Komponente der Strömung an der Tragfläche selbst. Da die erstgenannte Komponente die Ableitung des Geschwindigkeitspotentials senkrecht zum Schlitz ist, die zweite aber den wirksamen Anstellungswinkel bestimmt, so liefert die Beziehung zwischen Zirkulationsstärke und wirksamem Anstellwinkel eine Randbedingung (gemischter Art) an dem Schlitz für das Geschwindigkeitspotential, und die Aufgabe, die Verteilung der Zirkulation längs der Tragfläche zu bestimmen, ist auf eine gemischte Randwertaufgabe aus der Theorie des logarithmischen Potentials zurückgeführt. Kennt man aber die Zirkulation, so hat man auch Auftrieb und Widerstand.
Der Verf. löst die Randwertaufgabe approximativ für eine Tragfläche, die sieh nach einer Seite ins Unendliche erstreckt und überall gleiches Profil und gleichen Anstellwinkel besitzt. Die Verhältnisse an dem freien Ende geben die Verteilung der Zirkulation an den Enden einer Tragfläche mit endlicher Spannweite wohl einigermaßen gut wieder. Zum Schlusse geht er kurz auf die Tragflächen ein, die bei gegebenem Auftrieb den kleinsten Widerstand liefern.

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References:
[1] Siehe Prandtl, Tragfl?geltheorie I u. II. Nachr. v. d. K. Ges. d. Wissensch. zu G?ttingen, Mathematisch-physikalische Klasse 1918 u. 1919; Betz, Schraubenpropeller mit geringstem Energieverlust, ebenda 1919; Betz, Beitr?ge zur Tragfl?geltheorie, Diss. G?ttingen 1919; Munk, Isoperimetrische Aufgaben aus der Theorie des Fluges, Diss. G?ttingen 1919.
[2] Die Grundlagen der Theorie (? 1, ? 2 1. Abschnitt und ? 3) sind im engen Anschlu? an Prandtl und Betz dargestellt. Neu ist in der folgenden Arbeit die Zur?ckf?hrung der Auftriebs- und Widerstandsberechnung auf die Randwertaufgaben der Potentialtheorie.
[3] Vgl. Jahrbuch der Wissensch. Ges. f. Luftfabrt5 (1920), S. 37 u. f.; Prandtl, Tragfl?chenauftrieb und Widerstand in der Theorie.
[4] Die konsequente Verwendung dieser Potentialfunktion ? (x y) enth?lt den wesentlichen Gedanken dieser Arbeit und damit die in der Einleitung erw?hnte Vereinfachung in der mathematischen Behandlung der Auftriebs- und Widerstands-berechnung.
[5] Siehe Enz. d. Math. Wissensch. II C,3, 29. Artikel Lichtenstein, Potential-theorie, S. 282.
[6] In der gleichen einfachen Weise l??t sich die Betzsche Minimalbedingung f?r den Propeller mit geringstem Energieverbrauch aufstellen.
[7] Es ist hier wiederz=x+iy; z ist also nicht die dritte Raumkoordinate.
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