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Die logischen Grundlagen der Mathematik. (German) JFM 48.1120.01
Von der Grundlegung der Arithmetik, deren Zielrichtung, Methode und Anlage in der Hilbertschen Abhandlung “Neubegründung der Mathematik” (Hamb. Abh. 1, 1922) dargelegt ist, bringt Hilbert hier einen prinzipiell wichtigen Punkt zur genaueren Ausführung.
Der Inhalt der eben genannten Abhandlung wird nicht vorausgesetzt, vielmehr wird noch einmal der methodische Grundgedanke der Beweistheorie und der Aufbau des formalisierten Axiomensystems angegeben. Dabei wird durch die Einführung der formalen Negation – welche anfangs Hilbert glaubte vermeiden zu müssen – eine Vereinfachung für die Darstellung und das Verständnis erzielt. Als Änderungen seien ferner vermerkt die Hinzunahme der 0 zu den Zahlzeichen (welche sich aus formalen Gründen empfiehlt) und die Ausschaltung des Aussage-Zeichens \(Z\) (für “Zahl-sein”), das sich für die vorliegende Stufe des Formalismus auf Grund der Einsetzungsregeln als entbehrlich erweist.
Das eigentliche Thema der Abhandlung bilden die Existential-Schlüsse der Analysis, welche darauf beruhen, daß die auf Allheit und Existenz bezüglichen Schlußweisen, welche in der Anwendung auf endliche Gesamtheiten trivial sind, auf unendliche Gesamtheiten wie die aller ganzen Zahlen oder aller reellen Zahlen ausgedehnt werden.
Nachdem zunächst das Problematische dieser Schlußweisen erörtert ist, wird gezeigt, wie diese sich alle aus einem “transfiniten” Axiom ableiten lassen.
Das wesentliche an diesem Axiom, das auf eine Verallgemeinerung des Zermeloschen Auswahlprinzips hinauskommt, ist die Einführung einer Prädikaten-Funktion \(\tau (A)\), welche jedem Prädikat \(A\), sofern es nicht auf alle Individuen zutrifft, ein Gegenbeispiel zuordnet [Note: Daß hier ein Gegenbeispiel und nicht ein positives Beispiel genommen wird, ist nicht prinzipiell.] Genauer gesagt: zu jedem Bereich von Individuen, der von einer mathematischen Variablen durchlaufen wird - (jede vorkommende Art von mathematischen Variablen muß im Formalismus eigens eingeführt werden) –, gehört eine transfinite Funktion \(\tau\), deren Argument ein auf solche Individuen bezügliches Prädikat ist.
Der Beweis der Widerspruchsfreiheit für dieses transfinite Axiom bildet die hauptsächliche Schwierigkeit in der Begründung der Analysis. Hilbert legt den Grundgedanken eines solchen Beweises dar, der in den einfachsten Fällen auch schon zur Durchführung ausreicht.
Im letzten Teil der Abhandlung wird geschildert, wie sich die Anfangsgründe der Analysis im Rahmen der neuen Theorie darstellen. Dabei wird für die reellen Zahlen die Definition durch Dualbrüche gewählt [Note: Die Definition durch den Dedekindschen Schnitt läßt sich gleichermaßen in die Hilbertsche Theorie einordnen.] (Einer variablen reellen Zahl entspricht demgemäß eine variable zahlentheoretische Funktion, welche nur der Werte 0 und 1 fähig ist.)
Zur Konstruktion der oberen Grenze einer Zahlenfolge und einer Zahlenmenge bedarf es noch der Einführung derjenigen transfiniten Prädikaten-Funktion \(\pi(A)\), welche gleich 0 ist, falls das Prädikat \(A\) immer zutrifft, und sonst gleich 1 ist; und zwar hat man diese Funktion das eine Mal von Prädikaten ganzer Zahlen, das andere Mal von Prädikaten reeller Zahlen (d. h. zahlentheoretischer Funktionen) zu nehmen.
Zum Schluß wird das Zermelosche Auswahlprinzip für Mengen von Mengen reeller Zahlen aus dem transfiniten Axiom abgeleitet. Der Beweis erfordert die Einführung einer Variablen für Funktionen-Funktionen und der zugehörigen transfiniten Funktionen.

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Full Text: DOI EuDML
References:
[1] Vortrag, gehalten in der Dentschen Naturforscher-Gesellschaft. September 1922.
[2] Vglamine in Kopenhagen und Hamburg gehaltenen Vorträge, Abhandlungen aus dem mathematischen Seminar der Hamburgischen Universität 1922.
[3] In meiner vorhin zitierten Abhandlung hatte ich dieses Zeichen noch vermieden; es hat sich herausgestellt, daß bei der gegenwärtigen, ein wenig veränderten Darstellung meiner Theorie der Gebrauch des Zeichens für ?nicht? ohne Gefahr geschehen kann.
[4] In der definitiven Darstellung meiner Theorie geschieht die Begründung der elementaren Zahlentheorie ebenfalls mittels Axiomen; ich berufe mich hier nur der Kürze halber auf die direkte anschauliche Begründung.
[5] Die Erkenntnis, daß dieeine Formel 11. zur Herleitung diesor sämtlichen Formeln genügt, verdanke ich P. Bernays.
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