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Introduction to a general theory of elementary propositions. (English) JFM 48.1122.01
Eine mathematische Betrachtung über den Aussagenkalkül der “Principia Mathematica” von Whitehead und Russell. Dieser Aussagenkalkül stellt sich unter einem zweifachen Aspekt dar: einerseits werden die Funktionen der Aussagen-Variablen \[ p,\;q,\;\ldots \] betrachtet, welche sich aus den Grundfunktionen \[ \sim p,\quad p \vee q \] bilden lassen und deren Wertverlauf sich durch denjenigen der Grundfunktionen bestimmt, wobei sowohl für die Argumente wie für die Funktionen selbst nur zwei Werte, “wahr” und “falsch” (bzw. \(+\), \(-\)) in Betracht kommen; andererseits wird axiomatisch ein gewisser Bereich von Funktionen ausgesondert, welchen bei inhaltlicher Deutung die allgemeingültigen Aussagen-Verknüpfungen entsprechen, und zwar geschieht dies so, daß erstens fünf Funktionen ausgezeichnet werden und ferner Regeln gegeben werden, nach denen man aus bereits ausgezeichneten Funktionen wieder ausgezeichnete Funktionen erhält.
Die Tatsache, daß das System der Grundfunktionen und der Axiome zur Formalisierung der Aussagen-Logik genügt, findet ihren mathematischen Ausdruck in folgenden Sätzen:
1. Jede im Bereiche des Wertepaares (\(+\), \(-\)) ihrem Wertverlauf nach vorgeschriebene Funktion einer oder mehrerer Variablen wird durch Zusammensetzung aus den Grundfunktionen erhalten.
2. Der Teilbereich der ausgezeichneten Funktionen, die man durch Anwendung der Axiome erhält, stimmt überein mit der Gesamtheit derjenigen Funktionen, die für jedes Wertsystem ihrer Argumente den Wert \(+\) haben.
3. Durch Adjunktion irgendeiner weiteren Funktion zu dem Teilbereich wird, vermöge der Axiome, der Bereich aller betrachteten Funktionen erhalten.
Diese Sätze werden von L. Post zunächst systematisch abgeleitet. Sodann wird die Betrachtung verallgemeinert, indem an Stelle der zwei Werte \(+\), \(-\) eine beliebige endliche Anzahl von Werten, ferner an Stelle der beiden Grundfunktionen irgendein System von Grundfunktionen und an Stelle des Axiomensystems ein entsprechend allgemeineres zugrundegelegt wird. (Diese drei Arten der Verallgemeinerung werden zunächst jede für sich untersucht.)
Dabei handelt es sich dann um die Analoga der obigen Sätze 1., 2., 3. und einige weitere interessante Beziehungen.
Diese Ergebnisse, welche durch einfache Überlegungen gewonnen werden, haben den Charakter von rein algebraischen Sätzen.
So findet man z. B. folgendes bewiesen:
1. Jede Funktion einer oder mehrerer Variablen, deren Argumente die Werte \[ 1,\;2,\;\ldots,\;m \] durchlaufen und die auch nur Werte aus der Reihe dieser Zahlen annimmt, kann erzeugt werden durch die beiden Prozesse der zyklischen Permutation \((12\ldots m)\) und der Bildung des Minimums von zwei Werten.
2. Sind \(f(x_1,\ldots,x_k)\) und \(g(y_1,\ldots, y_l)\) zwei Funktionen der betrachteten Art und kommen die Werte, die \(g\) annehmen kann, alle unter den von \(f\) angenommenen Werten vor, so kann man \(g\) aus \(f\) erhalten, indem man für die Argumente von \(f\) Funktionen der betrachteten Art einsetzt.

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