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Homogeneous polynomials with a multiplication theorem. (English) JFM 48.1134.09

Comptes rendus du congrès internat. des math. 1920, 215-230 (1920).
Es sei \(f(x) \equiv f(x_1, \ldots, x_n)\) ein homogenes Polynom in den Variablen \(x_i\) und \[ X_k= \sum_{i, j=1}^n\gamma_{ijk}x_i\xi_j, \;\gamma_{ijk}=\text{konst.}; \tag{1} \] dann kennt man klassische Beispiele dafür, daß bei passenden \(\gamma_{ijk}\) eine Identität von der Form \[ f(x)f(\xi) = f(X)\tag{2} \] besteht \([x_1^2+x_2^2)(\xi_1^2 + \xi_2^2)= (x_1\xi_1+x_2\xi_2)^2 + (x_2\xi_1-x_1\xi_2)^2,\) ebenso allgemeiner für jeden Ausdruck einer algebraischen Norm]. Es wird nun nach weiteren Polynomen mit einem Multiplikationstheorem (2) unter den Beziehungen (1) gefragt.
Zu (1) adjungiere man ein System hyperkomplexer Einheiten \(e_1,\ldots, e_n\) mit der Vorschrift \[ e_ie_j =\sum_{i,j=1}^n\gamma_{ijk}e_k\tag{3} \] und setze, mit gewöhnlichen \(x_i\), \[ x=x_1e_1+\cdots +x_ne_n;\tag{4} \] dann hat man in dieser hyperkomplexen linearen Algebra einfach \[ x\xi =X,\tag{5} \] und unter dieser Bedingung wird nun (2) verlangt.
Ist \(f(x)\) eine echte Form der \(n\) Variablen \(x_i\), d. h. nicht etwa Funktion von weniger als \(n\) linearen Aggregaten der \(x_i\), so läßt sich durch lineare Transformation der \(x_i\) erreichen, daß \(\gamma_{1ik} = \gamma_{i1k}=\delta_{ik}\) (Kroneckersches Symbol) wird; man hat dann also eine echte Einheit \(e_1\) mit den Beziehungen \[ e_1e_j=e_je_1=e_j;\tag{6} \] ist unter dieser Bedingung \(\varphi(x)\) ein Faktor von \(f(x)\) und der Koeffizient des reinen Gliedes \(x_1^m\) gleich 1, so besitzt auch \(\varphi (x)\) das gleiche Multiplikationstheorem wie \(f(x)\).
Eine binäre Form \(f(x)\) zu (2), (3), (5), (6) ist ein Produkt von Potenzen zweier linearer Funktionen; eine ternäre Form für die gleichen “normalisierten” Beziehungen ist ein Produkt von Potenzen dreier linearer Funktionen; bei einer quaternären Form hat man den entsprechenden Satz bzw. das Vorliegen des Quadrats einer quadratischen Form; bei quinärer Form entstehen kompliziertere Erweiterungen; die bloße Widerspruchslosigkeit der hier \((n = 5)\) zuzulassenden Möglichkeiten läßt zunächst keinen Schluß auf deren wirkliche Existenz zu, während für \(n = 2, 3, 4\) effektiv angeführte Beispiele diese Existenz gewährleisten.