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Some relations between the theory of numbers and other branches of mathematics (conférence générale). (English) JFM 48.1151.01

Comptes rendus du congres internat. des math. 1920, 41-56 (1920).
I. Geometrische Methoden zur Auffindung aller Lösungen Diophantischer Gleichungen. Der Verf. bespricht an der Hand der von Hermite gegebenen diophantischen Gleichung: \[ x^2y+y^2z+z^2u+u^2x=0, \] wie die Frage nach den Geraden auf der Fläche sofort die Lösung gibt. Ebenso kann die Lösung definiert werden als Ort des Schnittpunktes von je zwei korrespondierenden Ebenen der drei Ebenenbündel: \[ \begin{alignedat}{2} &\lambda z-\mu x&&=0,\\ &\lambda x+\mu y-\nu u&&=0,\\ &\lambda u+\mu z+\nu y&&=0.\end{alignedat} \]
Die beiden so erhaltenen Darstellungen aller Lösungen durch 3 Parameter müssen durch eine birationale Transformation ineinander übergeführt werden können. Verf. zeigt, wie die Methode auch auf kubische Gleichungen anzuwenden ist, wenn die Geraden der Fläche imaginäre statt reelle Koeffizienten haben.
II. Anwendung algebraischer und hyperkomplexer Zahlen zur Auflösung gewisser Diophantischer Gleichungen. Der Verf. zeigt zunächst, daß man die Gleichung \[ x^2+y^2=zw \] nur dann durch ganze rationale Funktionen mit ganzen Koeffizienten von 4 Parametern so lösen kann, daß den ganzen rationalen Werten der Parameter schon alle ganzzahligen Lösungen der Gleichung entsprechen, wenn man die Zerlegung von \(x^2 + y^2\) im Körper der imaginären Einheit zu Hilfe nimmt. Umgekehrt ergeben aber die Gleichungen: \[ x=mn-rq,\;\;y=mr+nq,\;\;z=m^2+q^2,\;\;w=n^2+r^2, \] für ganzzahlige \(m\), \(n\), \(q\), \(r\) auch alle ganzzahligen Lösungen der Gleichung. Aus ihr ergeben sich alle ganzzahligen Lösungen von: \[ x_1^2+x_2^2+x_3^2=x_4^2, \] falls man: \[ x_2=2x,\;\;x_3=2y,\;\;x_4-x_1=2z,\;\;x_4+x_1=2w, \] setzt. Allgemein kann man so alle Lösungen der allgemeinern Gleichung: \[ x_1^2+mx_2^2+x_3^2=x_4^2 \] finden, wenn man in den quadratischen Körper \(\sqrt{-m}\) geht. Man erhält soviele Auflösungsreihen, als es Klassen im Körper gibt.
Liegt die Gleichung: \[ x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2=x_6^2, \] vor, so wird sie entsprechend gelöst, indem man sie auf: \[ x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=8y \] zurückführt und diese durch Einführung der Quaternionen löst.
III. Modular-Invarianten. Es sei \(p\) eine natürliche Primzahl. Die einfachste Modular-Invariante ist die von Lagrange: \[ \begin{vmatrix} x^p&y^p\\ x&y\end{vmatrix}. \]
Denn setzt man hier \(x=ax_1+by_1\), \(y=cx_1+dy_1\), \(a\), \(c\), \(d\) ganze rat. Zahlen, so hebt sich (mod \(p\)) die Determinante der Substitution als Faktor heraus: \[ \begin{vmatrix} x^p&y^p\\x&y\end{vmatrix}\equiv \begin{vmatrix} a&b\\c&d\end{vmatrix}\,\begin{vmatrix} x_1^p&y_1^p\\x_x&y_1\end{vmatrix} \qquad\pmod p . \]
Diese und der Quotient der Invariante (mod \(p\)): \[ \begin{vmatrix} x^{p_2}&y^{p^2}\\ x&y\end{vmatrix} \] mit der vorigen bilden ein Fundamentalsystem der binären Invarianten (mod \(p\)). Verf. bespricht die verschiedenen hier auftretenden Probleme und Resultate.
IV. Algebraische Invarianten. Verf. führt die Anwendung an, die Mordell von algebraischen Invarianten auf die Auflösung der Gleichung \[ 4x^3-gxy^2-gy^3=z^2, \] gemacht hat.