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On the multiplicative representation of algebraic numbers for the range of a prime divisor. (Zur multiplikativen Darstellung der algebraischen Zahlen für den Bereich eines Primteilers.) (German) JFM 48.1170.02
Die vom Verf. in einer früheren Arbeit “Die multiplikative Darstellung der algebraischen Zahlen für den Bereich eines beliebigen Primteilers” [J. Reine Angew. Math. 146, 189–215 (1916; JFM 46.0281.01)] angegebene Basis für die multiplikative Gruppe aller Zahlen eines Henselschen Körpers \(k(\mathfrak p)\), wo \(\mathfrak p\) ein zur Primzahl \(p\) gehöriger Primteiler \(e\)-ter Ordnung und \(f\)-ten Grades eines algebraischen Zahlkörpers \(k\) ist, besitzt für den Fall, daß \(k(\mathfrak p)\) die \(\root{p-1} \of {-p}\) (oder, was dasselbe, die \(p\)-te Einheitswurzel \(\zeta\)) enthält, ein sog. ausgezeichnetes Basiselement, das in der Form \(1 + \xi_0\varPi\) angesetzt werden kann, wo \(\varPi = \root {p-1} \of {-p}\) (oder, was auf dasselbe hinausläuft, \(\varPi = (1 - \zeta)^{\tfrac e{p-1}}\)) ist und \(\xi_0\) eine zu \(\mathfrak p\) prime Zahl, die in der genannten Arbeit noch nicht in arithmetisch brauchbarer Weise charakterisiert war. Diese arithmetische Charakterisierung wird nunmehr dahingehend gegeben, daß die Bedingung \[ s_0 (\xi_0) \equiv \xi_0 + \xi_0^{p} + \cdots \xi_0^{p^{f-1}} \not \equiv 0\bmod \mathfrak p \] notwendig und hinreichend dafür ist, daß \(1 + \xi_0 \varPi\) als ausgezeichnetes Basiselement verwertbar ist. \(s_0(\xi_0)\) ist die Spur im größten unverzweigten Unterkörper von \(k({\mathfrak p})\), d. h. dem Körper der \((p^f-1)\)-ten Einheitswurzeln, über dem Körper der rationalen \(p\)-adischen Zahlen.
Dies Resultat ist von fundamentaler Bedeutung für die Herleitung des expliziten Reziprozitätsgesetzes der \(p\)-ten Potenzreste in \(k\) geworden (siehe Ref., “Das allgemeine Reziprozitätsgesetz und seine Ergänzungssätze in beliebigen algebraischen Zahlkörpern für gewisse, nicht-primäre Zahlen. [J. Reine Angew. Math. 153, 192–207 (1924; JFM 50.0105.02)]).

MSC:
11S99 Algebraic number theory: local and \(p\)-adic fields
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Full Text: DOI EuDML