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Généralisation d’un théorème de Tchebycheff. (French) JFM 48.1173.01

Einen Satz von Tschebyscheff hat Polya (Arch, for Math. og Naturv. 35; vgl. F. d. M. 46, 241 (JFM 46.0241.*), 1916-18) folgendermaßen verallgemeinert:
Wenn \(\varrho\) die \(\varphi (n)\) primitiven \(n\)-ten Einheitswurzeln durchläuft und \[ F_n(x)= \prod_\varrho (x- \varrho), \quad n>2, \] gesetzt wird, und wenn \(P_x\) den größten Primfaktor des Produktes \[ F_n(1) F_n(2) F_n(3)\dots F_n(x) \] bedeutet, so ist \[ \lim_{x\to\infty} \frac x{P_x} = 0. \] Verf. zeigt, daß dieser Satz, sogar in verschärfter Gestalt, für eine wesentlich allgemeinere Polynomklasse richtig bleibt:
Wenn \(f (x)\) ein ganzzahliges, irreduzibles Polynom vom Grade \(>1\) ist, und \(P_x\) den größten Primfaktor des Produktes \(f(1) f(2) f(3) \dots f(x)\) bedeutet, so gilt \[ \lim_{x\to\infty} \frac {x (\log x)^\varepsilon}{P_x} = 0 \] für jedes positive \(\varepsilon <1\).

MSC:

11C08 Polynomials in number theory
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