Neubegründung der Mathematik. (German) JFM 48.1188.01

Hilbert, D.

Hamb. Abh. 1, 157-177 (1922).

Ausgehend von einem Überblick über den gegenwärtigen Erkenntnisstand in der Grundlegung der Arithmetik und einer polemischen Auseinandersetzung mit der von Weyl und Brouwer an der Analysis geübten Kritik, faßt zunächst Hilbert seine Auffassung dahin zusammen, daß ein befriedigender Abschluß der Untersuchungen über die Grundlagen der Mathematik nur durch den Nachweis der Widerspruchsfreiheit für die Axiome der Arithmetik erzielt werden kann.
Bei diesem Nachweis soll der Allgemeinbegriff einer Zahlenmenge nicht vorausgesetzt sein. Überhaupt soll das abstrakte Operieren mit allgemeinen Begriffsumfängen und -Inhalten, dessen Unzulänglichkeit an den Paradoxien der Mengenlehre zutage getreten ist, grundsätzlich vermieden werden.
Gemäß dieser Forderung muß sich der Nachweis der Widerspruchsfreiheit im Rahmen jenes engeren, elementaren Schließens bewegen, welches die Finitisten, wie z. B. Kronecker, als das einzig korrekte gelten lassen.
Gelingt ein solcher finiter Beweis der Widerspruchsfreiheit, so sind damit die üblichen Schlußweisen der Arithmetik gerechtfertigt, indem wir erkennen, daß ihre Anwendung stets zu richtigen, d.h. mit dem konkret Erweislichen im Einklang stehenden Ergebnissen führt.
Nach der Aufstellung dieses methodischen Programms und der Erläuterung der finiten Art des Schließens an dem Beispiel der anschaulich behandelten Zahlentheorie wendet sich Hilbert dazu, den Ansatz zur Lösung der gestellten Aufgaben zu schildern.
Es kommt darauf an, die Behauptung der Widerspruchsfreiheit der Arithmetik, welche die Möglichkeit eines gewissen unendlichen Systems mit gewissen Verknüpfungs-Eigenschaften besagt, in eine Behauptung finiten Charakters zu transformieren.
Dazu verhilft der Umstand, daß man die inhaltlichen Beweise der Arithmetik, mit Benutzung der Bezeichnungen des Logik-Kalküls, in Formeln wiedergeben kann. Abstrahiert man hier von der Bedeutung der logischen und arithmetischen Zeichen, so hat man an Stelle eines Beweises eine Formelfolge vor sich, und an die Stelle der Schlüsse, welche die einzelnen Sätze des Beweises miteinander logisch verbinden, treten formale Regeln für die Aneinanderreihung von Formeln.
Auf Grund dieser Übersetzung entspricht einem arithmetischen Beweise eine Figur von gewissen äußerlich feststellbaren Eigenschaften, und der Nachweis der Widerspruchsfreiheit wird zu einem finiten Problem, nämlich zu zeigen, daß man nicht zwei Beweisfiguren angeben kann, deren Endformeln, inhaltlich gedeutet, zwei widersprechende Sätze darstellen.
Hiernach besteht nun die Aufgabe einmal darin, die Arithmetik zu formalisieren, und ferner darin, für den aufgestellten Formalismus die Widerspruchsfreiheit (in dem angegebenen Sinne) zu erweisen.
Der formale Aufbau wird in den Grundzügen vorgeführt. Der Beweis der Widerspruchsfreiheit wird nur für einen anfangs heuristisch eingeführten engeren Formalismus erbracht. In dieser Gestalt hat der Beweis nur die methodische Bedeutung, daß an ihm ersichtlich wird, wie überhaupt grundsätzlich ein Beweis für Widerspruchsfreiheit im Sinne der formalen Beweistheorie geführt werden kann.

Reviewer: Bernays, Prof. (Göttingen)

JFM Section:

Nachtrag. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 1. Grundlagen und Allgemeines.