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Über Gebiete gleichmäßiger Konvergenz Dirichletscher Reihen. (German) JFM 48.1209.02

Ein bekanntes Ergebnis von Perron (J. für Math. 134, 106, 1908; vgl. auch F. d. M. 39, 328 (JFM 39.0328.*), 1908) verschärfend, beweist Verf. den Satz:
Konvergiert die Dirichletsche Reihe \(D(s) = \sum\limits_{n=1}^\infty a_ne^{-\lambda_{n^s}}\) für \(s = 0\), und setzt man \(\omega(\sigma)=\lambda_m\) für \(\sigma\geqq1\) und \(\dfrac1{\lambda_1}\log m\leqq\sigma<\dfrac1{\lambda_1}\log m+1\), so ist die Reihe \(D(s)\) im Gebiete \[ \sigma\geqq1,\quad|t|\leqq e^{\sigma\omega(\sigma)} \] gleichmäßig konvergent. Das angegebene Gebiet hängt demnach nur vom \(\lambda\)-Typus der Reihe, nicht aber von ihren Koeffizienten ab. Ist aber umgekehrt eine Funktion \(\omega(\sigma)>0\) vorgelegt, wobei \(\lim\limits_{\sigma\to\infty}\omega(\sigma)\to\infty\) geht, so läßt sich zu dieser Funktion immer eine für \(s=0\) konvergente Reihe \(D(s)\) finden, die im Gebiet \[ \sigma\geqq1,\quad|t|\leqq e^{\sigma\omega(\sigma)} \] ungleichmäßig konvergiert.
Außerdem beschäftigt sich Verf. mit einem Satz von Cahen (Ann. de l’Éc. Norm. (3) 11, 75, 1894; vgl. auch F. d. M. 25, 702 (JFM 25.0702.*)), in dem die gleichmäßige Konvergenz der für \(s = 0\) konvergenten Reihe \(D(s)\) im Gebiete \[ 0<\sigma\leqq1\quad|t|\leqq k\sigma \] behauptet wird.
In Übereinstimmung mit Herrn I. Solms (J. für Math. 151, 108; F. d. M. 47, 197, 1919/20) zeigt Verf., daß bereits eine für alle Dirichletschen Reihen vom Potenzreihentypus \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_ne^{-ns}\) gleichzeitig geltende Vergrößerung des Cahenschen Gebietes gleichmäßiger Konvergenz nicht existiert.
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References:

[1] Zur Theorie der Dirichletschen Reihen [Journ. f. d. reine u. angew. Math.131 (1908), S. 95], auf S. 106?109 (implizit).
[2] Sur la fonction ? (8) de Riemann et sur des fonctions analogues [Thèse, Paris 1894, auch Ann. de l’école norm. (3)11 (1894), S. 75] in Nr. 7 (in allem wesentlichen).
[3] Über lineare Transformationen in der Theorie der unendlichen Reihen [Journ. f. d. reine u. angew. Math.151 (1921), S. 79], vgl. S. 108, Zeile 12ff.
[4] Nur dies wird benutzt. Wir beweisen also etwas mehr als behauptet.
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