Recherches sur le théorème de M. Picard. (French) JFM 48.1218.01

Valiron, G.

Ann. de l’Éc. Norm. (3) 38, 389-429 (1921).

I. In Weiterführung des Borelschen Ideenkreises zum Picardschen Satz wird bewiesen: Ist \(F (z)\) regulär für \(|z|>R_0\), außer im wesentlich singulären Punkte \(\infty\), und ist stets \(F(z)\neq0\), so hat die Gleichung \(F(z) = a\) im Kreise \(|z|\leqq r\) eine Anzahl \(n(r, a)\) von Nullstellen, die größer ist als \(\log M(r)\), \(M(r) =\operatorname{Max\,} | F (z) |\), außer etwa für gewisse Ausnahmewerte von \(r\).
II. Unter Benutzung der Bezeichnungen und Resultate der “Principes de la théorie des fonctions entières d’ordre infini” von Blumenthal (Paris 1900) wird gezeigt: Ist \(F (z)\) regulär bezüglich einer typischen Funktion \(\varrho(r)\), und besitzt die Anzahl der Nullstellen von \(F(z)\) eine geringere Ordnung, so ist die Anzahl der Nullstellen von \(F (z) - a\), \(a\neq0\), gleich \(r^{\varrho(r)^{1+\delta(r)}}\), und es existieren Anhäufungen solcher Nullstellen von der angegebenen Ordnung in der Nähe der \(z\)-Werte, für die \(| F(z) | = M(r)\) erreicht wird.
III. Es sei \(G(z)\) regulär für \(| z | < 1\) und von positiver \(\infty\)-Ordnung, d. h. es möge \(\log_3 | G(z) | : \log (1- r)^{-1}\) für \(r\to1\) nicht gegen 0 konvergieren; für die Anzahl \(n(r, a)\) der Nullstellen von \(G(z)\) – \(a\) gilt dann \[ \varlimsup_{r=1}\,\log n(r,a):\log(1-r)^{-1}>0, \] außer etwa für einen einzigen Wert von \(a\). Auch für Funktionen innerhalb eines Winkelraumes lassen sich verwandte Resultate entwickeln.

Reviewer: Müntz, Dr. (Berlin)

JFM Section:

Nachtrag. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 4. Allgemeine Theorie der Funktionen komplexer Argumente. Grundlagen und Allgemeines. Potenzreihen. Dirichletsche Reihen, Fakultätenreihen und Verwandtes. Ganze transzendente Funktionen. Andere Klassen von Funktionen. Folgen von Funktionen.