Valiron, G. Sur les zéros des fonctions entières d’ordre infini. (French) JFM 48.1219.01 C. R. 172, 741-744 (1921). Es sei \(f(z)\) holomorph für \(|z |< 1\), \(M(r) = \operatorname{Max\,} | f (z) |\) für \(| z | = r\), \(X=(1-r)^{-1}\), \(\log M(r)=V(X)\). Ist \(V(X)\neq O(X^p)\) für noch so großes festes \(p\), so ist \(f(z)\) von unendlicher Ordnung, und die bekannten entsprechenden Begriffsbildungen für ganze Funktionen lassen sich auf \(f\) übertragen; insbesondere läßt sich (in den Bezeichnungen des Buches von Blumenthal, Principes de la théorie des fonctions entières d’ordre infini) eine typische Funktion \(\mu(X)\) angeben, so daß man stets habe: \[ V(X)\leqq X^{\mu(x)} \] und immer wieder für beliebig große \(X\): \[ V(X)> X^{\mu(x)^{1-\delta}},\quad\delta\to0. \]Mit Hilfe der Weierstraß-Picardschen Elementarfaktoren kann man hier jedenfalls zu gegebenen Nullstellen \(z_n\) von \(f (z)\) eine Funktion \(P (z)\) bilden, die genau dieselben besitzt; es ist dann \[ f(z)=e^{j(z)}P(z), \] worin jeder Faktor höchstens von der Ordnung \(\mu(X)\) ist.Es sei nun \(\varrho = \varrho(X)\) der Konvergenzexponent von \(X_n= (1-r_n)^{-1}\), \(r_n=|z_n|\); dann kann der zugehörige Konvergenzexponent von \(f(a, z) =f (z) - a\) höchstens nur für einen einzigen Wert der Konstanten \(a\) kleiner ausfallen als \(\varrho\). Daraus wird durch Transformation die folgende Ergänzung zum Picard-Borelschen Satz gewonnen: Es sei \(F (Z)\) eine ganze Funktion von der Ordnung \(\mu(R)\), \(R = | Z |\), und \(\alpha\) ein gegebener Wert zwischen 0 und \(2\pi\); für mindestens einen Sektor von der Öffnung \(\alpha\) ist die zugehörige Ordnung der Anzahl der Nullstellen von \(F (Z)-a\) niemals kleiner als \(\mu\left(\dfrac RK\right)\) bei konstantem \(K\), mit Ausnahme vielleicht eines einzigen Wertes von \(a\). Reviewer: Müntz, Dr. (Berlin) Cited in 1 Document JFM Section:Nachtrag. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 4. Allgemeine Theorie der Funktionen komplexer Argumente. Grundlagen und Allgemeines. Potenzreihen. Dirichletsche Reihen, Fakultätenreihen und Verwandtes. Ganze transzendente Funktionen. Andere Klassen von Funktionen. Folgen von Funktionen. PDF BibTeX XML Cite \textit{G. Valiron}, C. R. Acad. Sci., Paris 172, 741--744 (1921; JFM 48.1219.01) Full Text: Gallica OpenURL