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Sur les zéros des fonctions entières d’ordre infini. (French) JFM 48.1219.01

Es sei \(f(z)\) holomorph für \(|z |< 1\), \(M(r) = \operatorname{Max\,} | f (z) |\) für \(| z | = r\), \(X=(1-r)^{-1}\), \(\log M(r)=V(X)\). Ist \(V(X)\neq O(X^p)\) für noch so großes festes \(p\), so ist \(f(z)\) von unendlicher Ordnung, und die bekannten entsprechenden Begriffsbildungen für ganze Funktionen lassen sich auf \(f\) übertragen; insbesondere läßt sich (in den Bezeichnungen des Buches von Blumenthal, Principes de la théorie des fonctions entières d’ordre infini) eine typische Funktion \(\mu(X)\) angeben, so daß man stets habe: \[ V(X)\leqq X^{\mu(x)} \] und immer wieder für beliebig große \(X\): \[ V(X)> X^{\mu(x)^{1-\delta}},\quad\delta\to0. \]
Mit Hilfe der Weierstraß-Picardschen Elementarfaktoren kann man hier jedenfalls zu gegebenen Nullstellen \(z_n\) von \(f (z)\) eine Funktion \(P (z)\) bilden, die genau dieselben besitzt; es ist dann \[ f(z)=e^{j(z)}P(z), \] worin jeder Faktor höchstens von der Ordnung \(\mu(X)\) ist.
Es sei nun \(\varrho = \varrho(X)\) der Konvergenzexponent von \(X_n= (1-r_n)^{-1}\), \(r_n=|z_n|\); dann kann der zugehörige Konvergenzexponent von \(f(a, z) =f (z) - a\) höchstens nur für einen einzigen Wert der Konstanten \(a\) kleiner ausfallen als \(\varrho\). Daraus wird durch Transformation die folgende Ergänzung zum Picard-Borelschen Satz gewonnen: Es sei \(F (Z)\) eine ganze Funktion von der Ordnung \(\mu(R)\), \(R = | Z |\), und \(\alpha\) ein gegebener Wert zwischen 0 und \(2\pi\); für mindestens einen Sektor von der Öffnung \(\alpha\) ist die zugehörige Ordnung der Anzahl der Nullstellen von \(F (Z)-a\) niemals kleiner als \(\mu\left(\dfrac RK\right)\) bei konstantem \(K\), mit Ausnahme vielleicht eines einzigen Wertes von \(a\).

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Full Text: Gallica