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Asymptotische Entwicklungen beschränkter Funktionen und das Stieltjessche Momentenproblem. (German) JFM 48.1226.02

Bekanntlich hat H. Hamburger (Math. Ann. 81, 235; 82, 120, 168; F. d. M. 47, 427 (JFM 47.0427.*), 1919-20; ferner d. Bd. S. 535) die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür angegeben, daß das (erweiterte) Stieltjessche Momentenproblem \[ \int\limits_{-\infty}^\infty u^{n-1}\,d\psi(u)=c_n,\quad (n = 1, 2, \ldots) \] keine, eine einzige bzw. mehrere wachsende Lösungen zuläßt; im letzteren Falle ist dabei die Gesamtheit der Lösungen noch nicht vollständig angegeben worden. Hier wird das gesamte Momentenproblem durch ein äquivalentes ersetzt und so von einer neuen Seite betrachtet, wobei im Falle der Unbestimmtheit tatsächlich auch alle Lösungen gefunden werden. Aus jeder Lösung \(\psi(x)\) kann nach Stieltjes \[ f(x)=\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{d\psi(u)}{x-u} \tag{1} \] innerhalb eines Winkels \(\varepsilon < \arg x < \pi -\varepsilon\) asymptotisch durch \(c_1x^{-1} +c_2x^{-2}+\cdots \) dargestellt werden; es kommt hinzu, daß dabei \[ \mathfrak Jf(x) \leqq 0 \tag{2} \] ausfällt. Man kann nun umgekehrt das folgende Problem stellen: Gegeben die reelle Zahlenfolge \(c_1, c_2, \ldots\); gesucht eine Funktion \(f(x= s + it)\), regulär und mit \(\mathfrak J f(x)\leqq 0\) für \(t > 0\), die für \(\varepsilon < \arg x < \pi - \varepsilon\) die asymptotische Entwicklung \[ f(x)= c_1x^{-1} + c_2x^{-2} + \cdots \] zuläßt. Die Lösung dieses Problems läßt sich vollständig durchführen; werden die Randwerte \(\psi(u)\) des imaginären Teils der Integralfunktion von \(-\pi^{-1}f(x)\) betrachtet, so liefern sie gerade die Lösung des Stieltjesschen Momentenproblems für die gegebene Folge der \(c_n\), und es gilt ferner die Beziehung (1).
Der Beweis zieht in bekannter Weise die Theorie der Kettenbrüche heran. Man wird, wie bei Hamburger, auf vier Grenzfunktionen \(P(x)\), …, \(V(x)\) für Polynome im Zähler und Nenner der Näherungsbrüche geführt; der allgemeine Ausdruck für \(f(x)\) ist dann: \[ f(x)=\frac{P(x)-U(x)\varphi(x)}{Q(x)-V(x)\varphi(x)}, \] worin \(\varphi(x)\) eine willkürliche, für \(t> 0\) reguläre Funktion mit \(\mathfrak J\varphi(t)\leqq 0\) ist. Dieses endgültige Resultat wird auf Grund von Hilfssätzen gewonnen, die vielfach auch an sich von Interesse sind.

Citations:

JFM 47.0427.*
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