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Sur quelques problèmes de la théorie des fonctions analytiques de deux variables complexes. (French) JFM 48.1229.03
Während für gewöhnlich beim Definitionsbereich \(D\) einer komplexen Funktion zweier Variablen, \(u=f(x,y)\), angenommen wird, daß \(x\) und \(y\) unabhängig voneinander in gewissen Bereichen ihrer Ebenen variieren können, werden hier grundsätzlich beliebige zusammenhängende Gebiete im reellen vierdimensionalen Raum \(x_1,\ldots, y_2\); \(x=x_1 + ix_2\), \(y=y_1+iy_2\) ins Auge gefaßt.
§ 1. Es möge durch jede analytische Beziehung \(h(x,y)=0\) eine “erzeugende Fläche” definiert werden. Durch eine analytische Transformation \[ u =f(x,y),\quad v = g(x,y);\quad \frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}\neq 0, \] geht jede erzeugende Fläche in \((x,y)\) in eine ebensolche in \((u,v)\) über; die Abbildung der beiden derart aufeinander bezogenen Flächen ist konform. Jede Fläche in \((x_,\ldots,y_2)\), die auf die \(x\)-Ebene bei gleichen Werten \((x_1,x_2)\) konform abgebildet erscheint, ist eine erzeugende Fläche. Eine von einem reellen Parameter \(\alpha\) abhängige Schar erzeugender Flächen bildet ein “Hyperplanoid”, das stets regulär analytisch auf eine Hyperebene (z. B. \(y_2= 0\)) abgebildet werden kann.
§ 2. Konvergiert die Reihe \(\sum\limits_{m,n=0}^\infty c_{mn}x^my^n\) in der Ebene \((|x|,|y|)\) absolut für zwei Punkte einer Hyperbel \(|x^\alpha y^\beta| = \) konst; \(\alpha\), \(\beta>0\), so konvergiert sie absolut auch für jeden zwischenliegenden Punkt derselben. Die stetige Kurve \(\varGamma\), die in jener Ebene das gesamte Gebiet \(D\) der absoluten Konvergenz der Reihe begrenzt, ist “konvex in bezug auf die Schar von Hyperplanoiden \(|x^\alpha y^\beta| = \) konst.”, d.h. jenes Gebiet besteht aus der Gesamtheit der gemeinsamen inneren Punkte der Schar.
§ 3. Auf jedem Radiusvektor \(x=\xi t\), \(y=\eta t\), \(0\leqq t<\infty\), \(|\xi|^2+|\eta|^2=1\) markiere man den Abschnitt vom ersten singulären Punkt der Funktion \(f(x,y)=\sum c_{mn}x^my^n\) bis \(\infty\), das Restgebiet heiße der Hauptstern \(E\) von \(f\); in letzterem gilt nun \[ f(x,y)=\lim_{\alpha\to 0} \sum \frac{c_{mn}}{\varGamma(1+\alpha(m+n))} x^m y^n, \] ferner \[ f(x,y) = \sum_{\nu=1}^\infty P_\nu(x,y), \] mit passenden Polynomen \(P_\nu\), gleichmäßig in jedem inneren Gebiet von \(E\). Ähnliche Sätze gelten auch für mannigfache verallgemeinerte Hauptsterne.
§ 4. Ein Gebiet \(Q\) heiße quasikonvex, wenn es aus den gemeinsamen inneren Punkten der Hyperplanoidschar \[ |\varphi(x, y)|= \;\text{konst}. \] besteht, wobei \(\varphi\) im Gebiet \(Q\), und auf den Grenzen desselben regulär ist. Der Existenzbereich einer analytischen Funktion zweier Variablen ist stets entweder quasikonvex oder Grenze quasikonvexer Gebiete, die gleichmäßig gegen ihn konvergieren; umgekehrt kann jedes solche Gebiet Existenzbereich einer analytischen Funktion \(f(x,y)\) sein.
§ 5. Die konforme Abbildung eines quasikonvexen Gebietes auf ein nicht quasikonvexes ist nicht möglich.
§ 6. Ist eine Funktion \(f(x,y)\) regulär in einem Gebiete \(D\) und auf den Grenzen desselben, wobei \(D\) von der speziellen Beschaffenheit ist, daß \(x\) und \(y\) unabhängig voneinander gewisse Existenzgebiete in ihren Ebenen durchlaufen, so läßt sich \(f(x,y)\) in \(D\) in eine gleichmäßig konvergierende Reihe nach den zum Bereiche \(D\) gehörenden orthogonalen Polynomen \(P_\lambda(x,y)\) entwickeln (der Index \(\lambda\) durchläuft hier das ebene Gitter \(m\), \(n\)). Ein ähnlicher Satz gilt für Gebiete \(D\), deren Begrenzung analytisch ist.
§ 7. Ausdehnung auf \(n\) Variable.

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