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Fundamentalabbildung und Potentialbestimmung gegebener Riemannscher Flächen. (German) JFM 48.1234.01
Es ist von prinzipiellem, Interesse festzustellen, daß das Problem der Potentialbestimmung – in Umkehrung des üblichen Weges – auf dasjenige der konformen Abbildung zurückgeführt werden kann.
“Es sei \(F\) ein endlich-vielblättriser, endlich-vielfach zusammenhängender, analytisch begrenzter Bereich mit endlich vielen Windungspunkten im Innern \(\ldots\). Die eineindeutige konforme Abbildung der zu \(F\) gehörenden, einfach zusammenhängenden, relativ unverzweigten Überlagerungsfläche \(F^{(\infty)}\) auf die Fläche eines \(\zeta\)-Einheitskreises kann rein funktionentheoretisch vorgenommen werden \(\ldots\) Die Abbildungsfunktion \(\zeta(z)\) ist auch längs der Randlinien regulär, in den Eckpunkten jedenfalls stetig \(\ldots\) Dies ergibt sich, wenn \(F\) als Teil einer Fläche \(F^*\) aufgefaßt wird, die aus \(F\) durch äußere Anfügung zweifach zusammenhängender schmaler Flächenstreifen entsteht \(\ldots\)” Die Untersuchung führt dann auf die Abbildungsfunktionen \(\zeta^*(z)\) und \(\zeta(\zeta^*)\), die das gewünschte Resultat ergeben; auch eine Verallgemeinerung auf Jordansche Begrenzungsstücke ist möglich.
“Wir denken uns \(F\) durch passende Querschnitte zu einer einfach zusammenhängenden Fläche \(F_0\) aufgeschnitten \(\ldots\) Dem Grundexemplar \(F_0\) entspricht in der \(\zeta\)-Ebene ein Bereich \(\varPhi_0\) mit \(2p\) Querschnitten, die paarweise durch hyperbolische lineare Substitutionen einander zugeordnet sind, die so eine Fundamentalgruppe \(\varGamma\) erzeugen \(\ldots\) Überpflanzt man jetzt die gegebenen Randwerte des Bereiches \(F\) auf die Peripherie des Einheitskreises, wo sie in unendlich häufiger Wiederholung gemäß \(\varGamma\) erschienen, so kann man nunmehr das Poissonsche Integral für diese Randwerte ansetzen und erhält so eine Potentialfunktion, die gegenüber den Substitutionen der Gruppe \(\varGamma\) ungeändert bleibt, in Übertragung auf \(F\) eindeutig wird.” Die Lösung des ersten Randwertproblems für \(F\) ist so geleistet. Das Hinzukommen von polaren, log- bzw. arctg-Unstetigkeiten, von inneren und Rand-Periodizitätsmoduln läßt sich in diese Theorie unschwer einordnen; speziell kann man so dem Bereiche \(F\) eine charakteristische reelle algebraische Kurve und damit den zu \(F\) gehörenden reellen algebraischen Funktionenkörper zuordnen, was wiederum zur Lösung des allgemeinen Potentialproblems für \(F\) führt. Eine geringe Modifikation der Methode erlaubt, die gleiche Behandlungsweise bei geschlossenen Riemannschen Flächen vorzunehmen.
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References:
[1] Riemann-Hilbert: Dirichletsches Prinzip; Schwarz und C. Neumann: Alternierendes Verfahren; Poincaré: Methode de balayage.
[2] Vgl. eine Bemerkung am Schlusse meines Artikels, ?Über eine neue Methode der konformen Abbildung und Uniformisierung?, Gött. Nachr. 1912, S. 848.
[3] S. meinen Artikel, ?Ränderzuordnung bei konformer Abbildung?, Gött. Nachr. 1913, S. 286?288 und besonders ?Abhandlungen zur Theorie der konformen Abbildung. I?, dritter Teil, Journ f. Math.145 (1915), S. 205?219.
[4] Siehe meine genannte Abhandlung in Journ. f. Math.145, S. 213.
[5] Siehe hierzu ?Abhandlungen zur Theorie der konformen Abbildung. IV?, § 6, Acta math.41 (1918), S. 326?328.
[6] Siehe hierzu l. c. Abh. IV der genannten Serie, §§ 4, 6, 7.
[7] Vgl. § 8 l. c.
[8] Siehe ?Abhandlungen zur Theorie der konformen Abbildung. II?, § 8, Acta math.40 (1916), S. 287?290.
[9] Journ. f. Math.147 (1917), S. 77?83.
[10] Diese Fundamentalveränderlichen werden in Abh. II der genannten Serie mittels eines Schmiegungsverfahrens bestimmt.
[11] Vgl. auch Poincaré in Acta math.4 (1884), S. 246?250.
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