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Sur quelques transformations des équations aux dérivées partielles du second ordre. (French) JFM 48.1265.03
Die bekannten Transformationen partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung lassen sich am einfachsten an die Pfaffschen Systeme anknüpfen, die solchen Gleichungen äquivalent sind. Ist ein Pfaffsches System von vornherein gegeben, so läßt sich umgekehrt in vielen besonders wichtigen Fällen aus demselben eine ihm äquivalente Gleichung zweiter Ordnung ableiten, die Resolvente des Systems. Ein Pfaffsches System zweier Gleichungen mit sechs Variablen kann i. a. auf zwei verschiedene Arten auf die folgende Gestalt gebracht werden: \[ dz - p\; dx - q\; dy = 0, \quad dp - u\; dq - a\; dx - b\; dy = 0, \tag{1} \] worin \(a, b\) Funktionen von \(x,\ldots, u\) sind; wird \(z\) als Funktion von \(x, y\) allein gedacht, so ist die zweite dieser Gleichungen zu ersetzen durch \[ r - us - a = 0, \quad s - ut - b = 0, \tag{2} \] und die Elimination von \(u\) führt dann auf eine “Resolvente erster Art” von (1).
Man kann aber in (1) beliebige neue Variable \(X,\ldots, U\) als Funktionen der alten einführen; wird dann wieder \(Z\) als Funktion von \(X, Y\) allein betrachtet, so kann die Integrabilitätsbedingung für das neue System in gewissen Fällen von U unabhängig gemacht werden, und man erhält so eine “Resolvente zweiter Art” von (1).
In entsprechender Weise lassen sich Resolventen für \[ r = f(x,\ldots,t) \tag{3} \] einführen, das zuerst durch \[ dz = p\; dx + q\; dy, \quad dp = r\; dx+ s\; dy, \quad dq = s\; dx+t\; dy \tag{4} \] ersetzt wird, wobei noch weitere Differentiationen herangezogen werden können.
Durch die Bildung von Resolventen lassen sich vielfach Rückschlüsse auf die Integrale von (1) und (4) selbst ziehen.
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Full Text: Gallica