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Sur le développement de la théorie des équations partielles du premier ordre d’une seule fonction inconnue. (French) JFM 48.1267.01

Belg. Bull. Sciences 1922, 592-615 (1922).
Der Verf. zeichnet in großen Zügen die Etappen, die von der Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung mit einer einzigen unbekannten Funktion erreicht worden sind.
Taylor (1715) und d’Alembert (1747) haben begonnen mit der Anwendung der partiellen Differentialgleichung auf Probleme der mathematischen Physik. Die d’Alembertsche Methode zur Integration der Gleichung der schwingenden Saite hat den späteren Untersuchungen als Grundlage gedient, und dieser Methode folgt Euler bei den zahlreichen besonderen Gleichungen, die er 1770 betrachtete.
Lagrange gibt (1772) eine allgemeine Theorie, die Charpit vereinfacht. Indem Jacobi zeigt, daß jede Lösung aus dem vollständigen Integral abgeleitet werden kann, macht er diese Theorie wirklich allgemein. In der Folge studiert Lagrange (1779-85) die linearen Gleichungen mit \(n\) unabhängigen Variablen, dann die nicht linearen Gleichungen. Monge (1784) gibt eine geometrische Interpretation, indem er die Charakteristiken einführt.
Im Traité von Lacroix (1814) sieht man die Anfänge der künftigen Integrationsmethoden erscheinen.
Der erste Erfolg in der Integration der Gleichung mit \(n\) unabhängigen Variablen wurde von Pfaff (1815) erzielt, aber seine Methode ist auf neue Prinzipien gegründet. Sie wurde vereinfacht von Cauchy (1819) und Jacobi (1837), welche die Untersuchungen auf den ursprünglichen Weg zurückführten. Die sogenannte Jacobi-Mayersche Integrationsmethode entsteht aus den Methoden von Cauchy und von Jacobi durch Modifikationen seitens Mayers.
Darboux (1875) klärte die Frage nach der Existenz des Integrals.
Intuitiv führte Lie, ohne die Resultate von Mayer zu kennen, die Mannigfaltigkeiten ein. Indem der Verfasser diese Methode kritisiert, zeigt er, daß sie nur für besondere Gleichungen existiert. Mayer legte diesen Gedanken Lies keinen großen Wert bei.
Der Verf. resümiert sodann seine eigenen Arbeiten (1899–1913) und geht besonders auf den Zusammenhang der Theorie mit den Berührungstransformationen ein. 1913 zeigte er, daß die Einführung der Theorie der Gruppen von Funktionen (groupes fonctionnels) seitens Lies nicht nötig ist.
Die Theorie des integrierenden Faktors von Euler und der Multiplikatoren von Jacobi ist bein Studium der kontinuierlichen Gruppen und der infinitesimalen Transformationen von Lie und in der Theorie der Integralinvarianten (Poincaré, De Donder und andere) entwickelt worden.
Die geschichtliche Darstellung ist von einigen unumgänglichen analytischen Entwicklungen und den hauptsächlichsten bibliographischen Verweisen, die sehr nützlich sind, begleitet. Dieser Artikel, der interessante Gesichtspunkte enthält, kann das vertiefte Studium der betrachteten partiellen Differentialgleichungen erleichtern.