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Sur un système de quatre droites concourantes dans l’espace: droites équirésultantes. (French) JFM 48.1292.01

Auf den Achsen eines Dreikants \(Oxyz\) seien in beliebigem Sinne gleichlange Vektoren abgetragen; die Resultanten ergeben vier Gerade \[ \pm x=\pm y=\pm z, \] die als äquiresultant bezeichnet werden. Man schneide diese Geraden durch eine Ebene, die auf ihnen die Punkte \(\alpha, \ldots, \delta\), auf den Achsen die Punkte \(A, B, C\) aufweist; diese sieben Punkte ergeben ein spezielles vollständiges Viereck mit folgender Haupteigenschaft: \(B C\) schneidet \(\beta\gamma\) und \(\alpha\delta\) in \(a\) bzw. \(a'\) usf., und die drei Winkel \(aOa'\) usf. sind rechte Winkel. Durch diese Eigenschaft ist umgekehrt ein Quadrupel \(O\alpha\ldots\delta\) als äquiresultant gekennzeichnet.
Zu einem beliebigen \(O\alpha\beta\gamma\) läßt sich nun der fehlende äquiresultante Vektor bestimmen: man wird auf eine Gleichung vierter Ordnung geführt.
Auf Quadrupel der genannten Art wird man z. B. bei der folgenden Aufgabe geführt: zu drei gegebenen Punkten \(A, B, C\) bestimme man den geometrischen Ort für \[ \pm r_A\pm r_B\pm r_C = \text{konst}, \] unter \(r_A, \ldots \) die Entfernung eines Punktes \(P\) von \(A, \ldots\) verstanden. Durch jeden Punkt \(P\) gehen vier Flächen dieser Art, und die Normalen dieser Flächen in \(P\) sind äquiresultant.
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